Theorem trlcocnvat

Description: Commonly used special case of trlcoat . (Contributed by NM, 1-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	trlcoat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	trlcoat.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	trlcocnvat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
2		trlcoat.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
6		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
7		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
8	2 3	ltrncnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
9	5 7 8	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
10		simp3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
11	2 3 4	trlcnv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
12	5 7 11	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
13	10 12	neeqtrrd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) )
14	1 2 3 4	trlcoat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 )
15	5 6 9 13 14	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ∈ 𝐴 )