Theorem xmetpsmet

Description: An extended metric is a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018)

	Ref	Expression
Assertion	xmetpsmet	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 : ( 𝑋 × 𝑋 ) ⟶ ℝ* )
2		xmet0	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐷 𝑥 ) = 0 )
3		3anrot	⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) )
4		xmettri2	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) )
5	3 4	sylan2br	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) )
6	5	3anassrs	⊢ ( ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) )
7	6	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) )
8	7	ralrimiva	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) )
9	2 8	jca	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑥 𝐷 𝑥 ) = 0 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) ) )
10	9	ralrimiva	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐷 𝑥 ) = 0 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) ) )
11		elfvex	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ V )
12		ispsmet	⊢ ( 𝑋 ∈ V → ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝐷 : ( 𝑋 × 𝑋 ) ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐷 𝑥 ) = 0 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) ) ) ) )
13	11 12	syl	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → ( 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) ↔ ( 𝐷 : ( 𝑋 × 𝑋 ) ⟶ ℝ* ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ( ( 𝑥 𝐷 𝑥 ) = 0 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝑋 ∀ 𝑧 ∈ 𝑋 ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ≤ ( ( 𝑧 𝐷 𝑥 ) +𝑒 ( 𝑧 𝐷 𝑦 ) ) ) ) ) )
14	1 10 13	mpbir2and	⊢ ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( PsMet ‘ 𝑋 ) )