Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2sq.1 |
|- S = ran ( w e. Z[i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) ) |
2 |
|
2sqlem5.1 |
|- ( ph -> N e. NN ) |
3 |
|
2sqlem5.2 |
|- ( ph -> P e. Prime ) |
4 |
|
2sqlem5.3 |
|- ( ph -> ( N x. P ) e. S ) |
5 |
|
2sqlem5.4 |
|- ( ph -> P e. S ) |
6 |
1
|
2sqlem2 |
|- ( P e. S <-> E. p e. ZZ E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) ) |
7 |
5 6
|
sylib |
|- ( ph -> E. p e. ZZ E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) ) |
8 |
1
|
2sqlem2 |
|- ( ( N x. P ) e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) |
9 |
4 8
|
sylib |
|- ( ph -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) |
10 |
|
reeanv |
|- ( E. p e. ZZ E. x e. ZZ ( E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( E. p e. ZZ E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) |
11 |
|
reeanv |
|- ( E. q e. ZZ E. y e. ZZ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) <-> ( E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) |
12 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> N e. NN ) |
13 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> P e. Prime ) |
14 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> x e. ZZ ) |
15 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> y e. ZZ ) |
16 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> p e. ZZ ) |
17 |
|
simprll |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> q e. ZZ ) |
18 |
|
simprrr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) |
19 |
|
simprrl |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) ) |
20 |
1 12 13 14 15 16 17 18 19
|
2sqlem4 |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) ) ) -> N e. S ) |
21 |
20
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) /\ ( q e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> N e. S ) ) |
22 |
21
|
rexlimdvva |
|- ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( E. q e. ZZ E. y e. ZZ ( P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> N e. S ) ) |
23 |
11 22
|
syl5bir |
|- ( ( ph /\ ( p e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( ( E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> N e. S ) ) |
24 |
23
|
rexlimdvva |
|- ( ph -> ( E. p e. ZZ E. x e. ZZ ( E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> N e. S ) ) |
25 |
10 24
|
syl5bir |
|- ( ph -> ( ( E. p e. ZZ E. q e. ZZ P = ( ( p ^ 2 ) + ( q ^ 2 ) ) /\ E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( N x. P ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> N e. S ) ) |
26 |
7 9 25
|
mp2and |
|- ( ph -> N e. S ) |