Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2sq.1 |
|- S = ran ( w e. Z[i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) ) |
2 |
|
2sqlem6.1 |
|- ( ph -> A e. NN ) |
3 |
|
2sqlem6.2 |
|- ( ph -> B e. NN ) |
4 |
|
2sqlem6.3 |
|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) ) |
5 |
|
2sqlem6.4 |
|- ( ph -> ( A x. B ) e. S ) |
6 |
|
breq2 |
|- ( x = 1 -> ( p || x <-> p || 1 ) ) |
7 |
6
|
imbi1d |
|- ( x = 1 -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || 1 -> p e. S ) ) ) |
8 |
7
|
ralbidv |
|- ( x = 1 -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( x = 1 -> ( m x. x ) = ( m x. 1 ) ) |
10 |
9
|
eleq1d |
|- ( x = 1 -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. 1 ) e. S ) ) |
11 |
10
|
imbi1d |
|- ( x = 1 -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) ) |
12 |
11
|
ralbidv |
|- ( x = 1 -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) ) |
13 |
8 12
|
imbi12d |
|- ( x = 1 -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
14 |
|
breq2 |
|- ( x = y -> ( p || x <-> p || y ) ) |
15 |
14
|
imbi1d |
|- ( x = y -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || y -> p e. S ) ) ) |
16 |
15
|
ralbidv |
|- ( x = y -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( m x. x ) = ( m x. y ) ) |
18 |
17
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. y ) e. S ) ) |
19 |
18
|
imbi1d |
|- ( x = y -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) ) |
20 |
19
|
ralbidv |
|- ( x = y -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) ) |
21 |
16 20
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
22 |
|
breq2 |
|- ( x = z -> ( p || x <-> p || z ) ) |
23 |
22
|
imbi1d |
|- ( x = z -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || z -> p e. S ) ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( x = z -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) |
25 |
|
oveq2 |
|- ( x = z -> ( m x. x ) = ( m x. z ) ) |
26 |
25
|
eleq1d |
|- ( x = z -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. z ) e. S ) ) |
27 |
26
|
imbi1d |
|- ( x = z -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) |
28 |
27
|
ralbidv |
|- ( x = z -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) |
29 |
24 28
|
imbi12d |
|- ( x = z -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
30 |
|
breq2 |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( p || x <-> p || ( y x. z ) ) ) |
31 |
30
|
imbi1d |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) ) |
32 |
31
|
ralbidv |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) ) |
33 |
|
oveq2 |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( m x. x ) = ( m x. ( y x. z ) ) ) |
34 |
33
|
eleq1d |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) ) |
35 |
34
|
imbi1d |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
36 |
35
|
ralbidv |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
37 |
32 36
|
imbi12d |
|- ( x = ( y x. z ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
38 |
|
breq2 |
|- ( x = B -> ( p || x <-> p || B ) ) |
39 |
38
|
imbi1d |
|- ( x = B -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || B -> p e. S ) ) ) |
40 |
39
|
ralbidv |
|- ( x = B -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) ) ) |
41 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( m x. x ) = ( m x. B ) ) |
42 |
41
|
eleq1d |
|- ( x = B -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. B ) e. S ) ) |
43 |
42
|
imbi1d |
|- ( x = B -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) |
44 |
43
|
ralbidv |
|- ( x = B -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) |
45 |
40 44
|
imbi12d |
|- ( x = B -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
46 |
|
nncn |
|- ( m e. NN -> m e. CC ) |
47 |
46
|
mulid1d |
|- ( m e. NN -> ( m x. 1 ) = m ) |
48 |
47
|
eleq1d |
|- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S <-> m e. S ) ) |
49 |
48
|
biimpd |
|- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) |
50 |
49
|
rgen |
|- A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) |
51 |
50
|
a1i |
|- ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) |
52 |
|
breq1 |
|- ( p = x -> ( p || x <-> x || x ) ) |
53 |
|
eleq1 |
|- ( p = x -> ( p e. S <-> x e. S ) ) |
54 |
52 53
|
imbi12d |
|- ( p = x -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( x || x -> x e. S ) ) ) |
55 |
54
|
rspcv |
|- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> ( x || x -> x e. S ) ) ) |
56 |
|
prmz |
|- ( x e. Prime -> x e. ZZ ) |
57 |
|
iddvds |
|- ( x e. ZZ -> x || x ) |
58 |
56 57
|
syl |
|- ( x e. Prime -> x || x ) |
59 |
|
simprl |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. NN ) |
60 |
|
simpll |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. Prime ) |
61 |
|
simprr |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> ( m x. x ) e. S ) |
62 |
|
simplr |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. S ) |
63 |
1 59 60 61 62
|
2sqlem5 |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. S ) |
64 |
63
|
expr |
|- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) |
65 |
64
|
ralrimiva |
|- ( ( x e. Prime /\ x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) |
66 |
65
|
ex |
|- ( x e. Prime -> ( x e. S -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) ) |
67 |
58 66
|
embantd |
|- ( x e. Prime -> ( ( x || x -> x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) ) |
68 |
55 67
|
syld |
|- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) ) |
69 |
|
anim12 |
|- ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
70 |
|
simpr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime ) |
71 |
|
eluzelz |
|- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ ) |
72 |
71
|
ad2antrr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> y e. ZZ ) |
73 |
|
eluzelz |
|- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ ) |
74 |
73
|
ad2antlr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> z e. ZZ ) |
75 |
|
euclemma |
|- ( ( p e. Prime /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) ) |
76 |
70 72 74 75
|
syl3anc |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) ) |
77 |
76
|
imbi1d |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) ) ) |
78 |
|
jaob |
|- ( ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) |
79 |
77 78
|
bitrdi |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) ) |
80 |
79
|
ralbidva |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) ) |
81 |
|
r19.26 |
|- ( A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) |
82 |
80 81
|
bitrdi |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) ) |
83 |
82
|
biimpa |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) |
84 |
|
oveq1 |
|- ( m = n -> ( m x. y ) = ( n x. y ) ) |
85 |
84
|
eleq1d |
|- ( m = n -> ( ( m x. y ) e. S <-> ( n x. y ) e. S ) ) |
86 |
|
eleq1 |
|- ( m = n -> ( m e. S <-> n e. S ) ) |
87 |
85 86
|
imbi12d |
|- ( m = n -> ( ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) ) |
88 |
87
|
cbvralvw |
|- ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) |
89 |
46
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. CC ) |
90 |
|
uzssz |
|- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ |
91 |
|
zsscn |
|- ZZ C_ CC |
92 |
90 91
|
sstri |
|- ( ZZ>= ` 2 ) C_ CC |
93 |
|
simpll |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
94 |
93
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
95 |
92 94
|
sselid |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. CC ) |
96 |
|
simplr |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
97 |
96
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
98 |
92 97
|
sselid |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. CC ) |
99 |
|
mul32 |
|- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( ( m x. z ) x. y ) ) |
100 |
|
mulass |
|- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( m x. ( y x. z ) ) ) |
101 |
99 100
|
eqtr3d |
|- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) ) |
102 |
89 95 98 101
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) ) |
103 |
102
|
eleq1d |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) ) |
104 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN ) |
105 |
|
eluz2nn |
|- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. NN ) |
106 |
97 105
|
syl |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. NN ) |
107 |
104 106
|
nnmulcld |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( m x. z ) e. NN ) |
108 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) |
109 |
|
oveq1 |
|- ( n = ( m x. z ) -> ( n x. y ) = ( ( m x. z ) x. y ) ) |
110 |
109
|
eleq1d |
|- ( n = ( m x. z ) -> ( ( n x. y ) e. S <-> ( ( m x. z ) x. y ) e. S ) ) |
111 |
|
eleq1 |
|- ( n = ( m x. z ) -> ( n e. S <-> ( m x. z ) e. S ) ) |
112 |
110 111
|
imbi12d |
|- ( n = ( m x. z ) -> ( ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) <-> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) ) |
113 |
112
|
rspcv |
|- ( ( m x. z ) e. NN -> ( A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) ) |
114 |
107 108 113
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) |
115 |
103 114
|
sylbird |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) |
116 |
115
|
imim1d |
|- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
117 |
116
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
118 |
88 117
|
sylan2b |
|- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
119 |
118
|
expimpd |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
120 |
83 119
|
embantd |
|- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) |
121 |
120
|
ex |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
122 |
121
|
com23 |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
123 |
69 122
|
syl5 |
|- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) ) |
124 |
13 21 29 37 45 51 68 123
|
prmind |
|- ( B e. NN -> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) |
125 |
3 4 124
|
sylc |
|- ( ph -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) |
126 |
|
oveq1 |
|- ( m = A -> ( m x. B ) = ( A x. B ) ) |
127 |
126
|
eleq1d |
|- ( m = A -> ( ( m x. B ) e. S <-> ( A x. B ) e. S ) ) |
128 |
|
eleq1 |
|- ( m = A -> ( m e. S <-> A e. S ) ) |
129 |
127 128
|
imbi12d |
|- ( m = A -> ( ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) ) |
130 |
129
|
rspcv |
|- ( A e. NN -> ( A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) -> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) ) |
131 |
2 125 5 130
|
syl3c |
|- ( ph -> A e. S ) |