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Theorem abvsubtri

Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses abv0.a 
|- A = ( AbsVal ` R )
abvneg.b 
|- B = ( Base ` R )
abvsubtri.p 
|- .- = ( -g ` R )
Assertion abvsubtri 
|- ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .- Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 abv0.a 
 |-  A = ( AbsVal ` R )
2 abvneg.b 
 |-  B = ( Base ` R )
3 abvsubtri.p 
 |-  .- = ( -g ` R )
4 eqid 
 |-  ( +g ` R ) = ( +g ` R )
5 eqid 
 |-  ( invg ` R ) = ( invg ` R )
6 2 4 5 3 grpsubval 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) )
7 6 3adant1 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) )
8 7 fveq2d 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .- Y ) ) = ( F ` ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) )
9 1 abvrcl 
 |-  ( F e. A -> R e. Ring )
10 9 3ad2ant1 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
11 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
13 simp3 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
14 2 5 grpinvcl 
 |-  ( ( R e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` R ) ` Y ) e. B )
15 12 13 14 syl2anc 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` R ) ` Y ) e. B )
16 1 2 4 abvtri 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ ( ( invg ` R ) ` Y ) e. B ) -> ( F ` ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) )
17 15 16 syld3an3 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) )
18 1 2 5 abvneg 
 |-  ( ( F e. A /\ Y e. B ) -> ( F ` ( ( invg ` R ) ` Y ) ) = ( F ` Y ) )
19 18 3adant2 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( ( invg ` R ) ` Y ) ) = ( F ` Y ) )
20 19 oveq2d 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( F ` X ) + ( F ` ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) = ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )
21 17 20 breqtrd 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X ( +g ` R ) ( ( invg ` R ) ` Y ) ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )
22 8 21 eqbrtrd 
 |-  ( ( F e. A /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .- Y ) ) <_ ( ( F ` X ) + ( F ` Y ) ) )