Metamath Proof Explorer

Theorem addasspi

Description: Addition of positive integers is associative. (Contributed by NM, 27-Aug-1995) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion addasspi 
|- ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pinn 
 |-  ( A e. N. -> A e. _om )
2 pinn 
 |-  ( B e. N. -> B e. _om )
3 pinn 
 |-  ( C e. N. -> C e. _om )
4 nnaass 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
5 1 2 3 4 syl3an 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +o B ) +o C ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
6 addclpi 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. )
7 addpiord 
 |-  ( ( ( A +N B ) e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
8 6 7 sylan 
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +N B ) +o C ) )
9 addpiord 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) )
10 9 oveq1d 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
11 10 adantr 
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +o C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
12 8 11 eqtrd 
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
13 12 3impa 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( ( A +o B ) +o C ) )
14 addclpi 
 |-  ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) e. N. )
15 addpiord 
 |-  ( ( A e. N. /\ ( B +N C ) e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
16 14 15 sylan2 
 |-  ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +N C ) ) )
17 addpiord 
 |-  ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( B +N C ) = ( B +o C ) )
18 17 oveq2d 
 |-  ( ( B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
19 18 adantl 
 |-  ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +o ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
20 16 19 eqtrd 
 |-  ( ( A e. N. /\ ( B e. N. /\ C e. N. ) ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
21 20 3impb 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A +N ( B +N C ) ) = ( A +o ( B +o C ) ) )
22 5 13 21 3eqtr4d 
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )
23 dmaddpi 
 |-  dom +N = ( N. X. N. )
24 0npi 
 |-  -. (/) e. N.
25 23 24 ndmovass 
 |-  ( -. ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) ) )
26 22 25 pm2.61i 
 |-  ( ( A +N B ) +N C ) = ( A +N ( B +N C ) )