Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
addpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) = ( A +o B ) ) |
2 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
3 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
4 |
|
nnacl |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A +o B ) e. _om ) |
5 |
3 4
|
sylan2 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. _om ) |
6 |
|
elni2 |
|- ( B e. N. <-> ( B e. _om /\ (/) e. B ) ) |
7 |
|
nnaordi |
|- ( ( B e. _om /\ A e. _om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) ) ) |
8 |
|
ne0i |
|- ( ( A +o (/) ) e. ( A +o B ) -> ( A +o B ) =/= (/) ) |
9 |
7 8
|
syl6 |
|- ( ( B e. _om /\ A e. _om ) -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) |
10 |
9
|
expcom |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( (/) e. B -> ( A +o B ) =/= (/) ) ) ) |
11 |
10
|
imp32 |
|- ( ( A e. _om /\ ( B e. _om /\ (/) e. B ) ) -> ( A +o B ) =/= (/) ) |
12 |
6 11
|
sylan2b |
|- ( ( A e. _om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) =/= (/) ) |
13 |
|
elni |
|- ( ( A +o B ) e. N. <-> ( ( A +o B ) e. _om /\ ( A +o B ) =/= (/) ) ) |
14 |
5 12 13
|
sylanbrc |
|- ( ( A e. _om /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. ) |
15 |
2 14
|
sylan |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +o B ) e. N. ) |
16 |
1 15
|
eqeltrd |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A +N B ) e. N. ) |