Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
alexsubALT.1 |
|- X = U. J |
2 |
|
cmptop |
|- ( J e. Comp -> J e. Top ) |
3 |
|
fitop |
|- ( J e. Top -> ( fi ` J ) = J ) |
4 |
3
|
fveq2d |
|- ( J e. Top -> ( topGen ` ( fi ` J ) ) = ( topGen ` J ) ) |
5 |
|
tgtop |
|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J ) |
6 |
4 5
|
eqtr2d |
|- ( J e. Top -> J = ( topGen ` ( fi ` J ) ) ) |
7 |
2 6
|
syl |
|- ( J e. Comp -> J = ( topGen ` ( fi ` J ) ) ) |
8 |
|
velpw |
|- ( c e. ~P J <-> c C_ J ) |
9 |
1
|
cmpcov |
|- ( ( J e. Comp /\ c C_ J /\ X = U. c ) -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) |
10 |
9
|
3exp |
|- ( J e. Comp -> ( c C_ J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |
11 |
8 10
|
syl5bi |
|- ( J e. Comp -> ( c e. ~P J -> ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |
12 |
11
|
ralrimiv |
|- ( J e. Comp -> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) |
13 |
|
2fveq3 |
|- ( x = J -> ( topGen ` ( fi ` x ) ) = ( topGen ` ( fi ` J ) ) ) |
14 |
13
|
eqeq2d |
|- ( x = J -> ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) <-> J = ( topGen ` ( fi ` J ) ) ) ) |
15 |
|
pweq |
|- ( x = J -> ~P x = ~P J ) |
16 |
15
|
raleqdv |
|- ( x = J -> ( A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) <-> A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |
17 |
14 16
|
anbi12d |
|- ( x = J -> ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) <-> ( J = ( topGen ` ( fi ` J ) ) /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) ) |
18 |
17
|
spcegv |
|- ( J e. Comp -> ( ( J = ( topGen ` ( fi ` J ) ) /\ A. c e. ~P J ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) -> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) ) |
19 |
7 12 18
|
mp2and |
|- ( J e. Comp -> E. x ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) ) ) |