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Theorem alexsubALTlem2

Description: Lemma for alexsubALT . Every subset of a base which has no finite subcover is a subset of a maximal such collection. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Jan-2010)

Ref Expression
Hypothesis alexsubALT.1 
|- X = U. J
Assertion alexsubALTlem2 
|- ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 alexsubALT.1 
 |-  X = U. J
2 ssel 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
3 elun 
 |-  ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) )
4 sseq2 
 |-  ( z = w -> ( a C_ z <-> a C_ w ) )
5 pweq 
 |-  ( z = w -> ~P z = ~P w )
6 5 ineq1d 
 |-  ( z = w -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P w i^i Fin ) )
7 6 raleqdv 
 |-  ( z = w -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) )
8 4 7 anbi12d 
 |-  ( z = w -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
9 8 elrab 
 |-  ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
10 velsn 
 |-  ( w e. { (/) } <-> w = (/) )
11 9 10 orbi12i 
 |-  ( ( w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ w e. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
12 3 11 bitri 
 |-  ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) )
13 elpwi 
 |-  ( w e. ~P ( fi ` x ) -> w C_ ( fi ` x ) )
14 13 adantr 
 |-  ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
15 0ss 
 |-  (/) C_ ( fi ` x )
16 sseq1 
 |-  ( w = (/) -> ( w C_ ( fi ` x ) <-> (/) C_ ( fi ` x ) ) )
17 15 16 mpbiri 
 |-  ( w = (/) -> w C_ ( fi ` x ) )
18 14 17 jaoi 
 |-  ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> w C_ ( fi ` x ) )
19 12 18 sylbi 
 |-  ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> w C_ ( fi ` x ) )
20 2 19 syl6 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( w e. y -> w C_ ( fi ` x ) ) )
21 20 ralrimiv 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
22 unissb 
 |-  ( U. y C_ ( fi ` x ) <-> A. w e. y w C_ ( fi ` x ) )
23 21 22 sylibr 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
24 23 adantr 
 |-  ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
25 24 ad2antlr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y C_ ( fi ` x ) )
26 vuniex 
 |-  U. y e. _V
27 26 elpw 
 |-  ( U. y e. ~P ( fi ` x ) <-> U. y C_ ( fi ` x ) )
28 25 27 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> U. y e. ~P ( fi ` x ) )
29 uni0b 
 |-  ( U. y = (/) <-> y C_ { (/) } )
30 29 notbii 
 |-  ( -. U. y = (/) <-> -. y C_ { (/) } )
31 disjssun 
 |-  ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> y C_ { (/) } ) )
32 31 biimpcd 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) = (/) -> y C_ { (/) } ) )
33 32 necon3bd 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) ) )
34 n0 
 |-  ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) <-> E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
35 elin 
 |-  ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
36 9 anbi2i 
 |-  ( ( w e. y /\ w e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
37 35 36 bitri 
 |-  ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
38 simprrl 
 |-  ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ w )
39 simpl 
 |-  ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> w e. y )
40 ssuni 
 |-  ( ( a C_ w /\ w e. y ) -> a C_ U. y )
41 38 39 40 syl2anc 
 |-  ( ( w e. y /\ ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) -> a C_ U. y )
42 37 41 sylbi 
 |-  ( w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
43 42 exlimiv 
 |-  ( E. w w e. ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) -> a C_ U. y )
44 34 43 sylbi 
 |-  ( ( y i^i { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) =/= (/) -> a C_ U. y )
45 33 44 syl6 
 |-  ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
46 45 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) -> ( -. y C_ { (/) } -> a C_ U. y ) )
47 30 46 syl5bi 
 |-  ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> a C_ U. y ) )
48 47 imp 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> a C_ U. y )
49 elfpw 
 |-  ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) <-> ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) )
50 unieq 
 |-  ( y = (/) -> U. y = U. (/) )
51 uni0 
 |-  U. (/) = (/)
52 50 51 eqtrdi 
 |-  ( y = (/) -> U. y = (/) )
53 52 necon3bi 
 |-  ( -. U. y = (/) -> y =/= (/) )
54 53 adantr 
 |-  ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) -> y =/= (/) )
55 54 ad2antrl 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> y =/= (/) )
56 simplrr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> [C.] Or y )
57 simprlr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n e. Fin )
58 simprr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> n C_ U. y )
59 finsschain 
 |-  ( ( ( y =/= (/) /\ [C.] Or y ) /\ ( n e. Fin /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
60 55 56 57 58 59 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) /\ n C_ U. y ) ) -> E. w e. y n C_ w )
61 60 expr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> E. w e. y n C_ w ) )
62 0elpw 
 |-  (/) e. ~P a
63 0fin 
 |-  (/) e. Fin
64 62 63 elini 
 |-  (/) e. ( ~P a i^i Fin )
65 unieq 
 |-  ( b = (/) -> U. b = U. (/) )
66 65 eqeq2d 
 |-  ( b = (/) -> ( X = U. b <-> X = U. (/) ) )
67 66 notbid 
 |-  ( b = (/) -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. (/) ) )
68 67 rspccv 
 |-  ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> ( (/) e. ( ~P a i^i Fin ) -> -. X = U. (/) ) )
69 64 68 mpi 
 |-  ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b -> -. X = U. (/) )
70 velpw 
 |-  ( n e. ~P w <-> n C_ w )
71 elin 
 |-  ( n e. ( ~P w i^i Fin ) <-> ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) )
72 unieq 
 |-  ( b = n -> U. b = U. n )
73 72 eqeq2d 
 |-  ( b = n -> ( X = U. b <-> X = U. n ) )
74 73 notbid 
 |-  ( b = n -> ( -. X = U. b <-> -. X = U. n ) )
75 74 rspccv 
 |-  ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ( ~P w i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
76 71 75 syl5bir 
 |-  ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( ( n e. ~P w /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
77 76 expd 
 |-  ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. ~P w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
78 70 77 syl5bir 
 |-  ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
79 78 com23 
 |-  ( A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
80 79 ad2antll 
 |-  ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
81 80 a1i 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
82 sseq2 
 |-  ( w = (/) -> ( n C_ w <-> n C_ (/) ) )
83 ss0 
 |-  ( n C_ (/) -> n = (/) )
84 82 83 syl6bi 
 |-  ( w = (/) -> ( n C_ w -> n = (/) ) )
85 unieq 
 |-  ( n = (/) -> U. n = U. (/) )
86 85 eqeq2d 
 |-  ( n = (/) -> ( X = U. n <-> X = U. (/) ) )
87 86 notbid 
 |-  ( n = (/) -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. (/) ) )
88 87 biimprcd 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> -. X = U. n ) )
89 88 a1dd 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( n = (/) -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) )
90 84 89 syl9r 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n C_ w -> ( n e. Fin -> -. X = U. n ) ) ) )
91 90 com34 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( w = (/) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
92 81 91 jaod 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( ( ( w e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ w /\ A. b e. ( ~P w i^i Fin ) -. X = U. b ) ) \/ w = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
93 12 92 syl5bi 
 |-  ( -. X = U. (/) -> ( w e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
94 2 93 sylan9r 
 |-  ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( w e. y -> ( n e. Fin -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
95 94 com23 
 |-  ( ( -. X = U. (/) /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
96 69 95 sylan 
 |-  ( ( A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b /\ y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
97 96 ad2ant2lr 
 |-  ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) -> ( n e. Fin -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) ) )
98 97 imp 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ n e. Fin ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
99 98 adantrl 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( w e. y -> ( n C_ w -> -. X = U. n ) ) )
100 99 rexlimdv 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( E. w e. y n C_ w -> -. X = U. n ) )
101 61 100 syld 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ ( -. U. y = (/) /\ n e. Fin ) ) -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) )
102 101 expr 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. Fin -> ( n C_ U. y -> -. X = U. n ) ) )
103 102 impcomd 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( ( n C_ U. y /\ n e. Fin ) -> -. X = U. n ) )
104 49 103 syl5bi 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -> -. X = U. n ) )
105 104 ralrimiv 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n )
106 unieq 
 |-  ( n = b -> U. n = U. b )
107 106 eqeq2d 
 |-  ( n = b -> ( X = U. n <-> X = U. b ) )
108 107 notbid 
 |-  ( n = b -> ( -. X = U. n <-> -. X = U. b ) )
109 108 cbvralvw 
 |-  ( A. n e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. n <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
110 105 109 sylib 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b )
111 28 48 110 jca32 
 |-  ( ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) /\ -. U. y = (/) ) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
112 111 ex 
 |-  ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) -> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
113 orcom 
 |-  ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
114 26 elsn 
 |-  ( U. y e. { (/) } <-> U. y = (/) )
115 sseq2 
 |-  ( z = U. y -> ( a C_ z <-> a C_ U. y ) )
116 pweq 
 |-  ( z = U. y -> ~P z = ~P U. y )
117 116 ineq1d 
 |-  ( z = U. y -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P U. y i^i Fin ) )
118 117 raleqdv 
 |-  ( z = U. y -> ( A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b <-> A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) )
119 115 118 anbi12d 
 |-  ( z = U. y -> ( ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) <-> ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
120 119 elrab 
 |-  ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } <-> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) )
121 114 120 orbi12i 
 |-  ( ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) <-> ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
122 df-or 
 |-  ( ( U. y = (/) \/ ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) )
123 121 122 bitr2i 
 |-  ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> ( U. y e. { (/) } \/ U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } ) )
124 elun 
 |-  ( U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) <-> ( U. y e. { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } \/ U. y e. { (/) } ) )
125 113 123 124 3bitr4i 
 |-  ( ( -. U. y = (/) -> ( U. y e. ~P ( fi ` x ) /\ ( a C_ U. y /\ A. b e. ( ~P U. y i^i Fin ) -. X = U. b ) ) ) <-> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
126 112 125 sylib 
 |-  ( ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) /\ ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) )
127 126 ex 
 |-  ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
128 127 alrimiv 
 |-  ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) )
129 fvex 
 |-  ( fi ` x ) e. _V
130 129 pwex 
 |-  ~P ( fi ` x ) e. _V
131 130 rabex 
 |-  { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } e. _V
132 p0ex 
 |-  { (/) } e. _V
133 131 132 unex 
 |-  ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) e. _V
134 133 zorn 
 |-  ( A. y ( ( y C_ ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) /\ [C.] Or y ) -> U. y e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )
135 128 134 syl 
 |-  ( ( ( J = ( topGen ` ( fi ` x ) ) /\ A. c e. ~P x ( X = U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) X = U. d ) /\ a e. ~P ( fi ` x ) ) /\ A. b e. ( ~P a i^i Fin ) -. X = U. b ) -> E. u e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) A. v e. ( { z e. ~P ( fi ` x ) | ( a C_ z /\ A. b e. ( ~P z i^i Fin ) -. X = U. b ) } u. { (/) } ) -. u C. v )