Theorem axpweq

Description: Two equivalent ways to express the Power Set Axiom. Note that ax-pow is not used by the proof. When ax-pow is assumed and A is a set, both sides of the biconditional hold. In ZF, both sides hold if and only if A is a set (see pwexr ). (Contributed by NM, 22-Jun-2009)

	Ref	Expression
Assertion	axpweq	|- ( ~P A e. _V <-> E. x A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwidg	|- ( ~P A e. _V -> ~P A e. ~P ~P A )
2		pweq	|- ( x = ~P A -> ~P x = ~P ~P A )
3	2	eleq2d	|- ( x = ~P A -> ( ~P A e. ~P x <-> ~P A e. ~P ~P A ) )
4	3	spcegv	|- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. ~P ~P A -> E. x ~P A e. ~P x ) )
5	1 4	mpd	|- ( ~P A e. _V -> E. x ~P A e. ~P x )
6		elex	|- ( ~P A e. ~P x -> ~P A e. _V )
7	6	exlimiv	|- ( E. x ~P A e. ~P x -> ~P A e. _V )
8	5 7	impbii	|- ( ~P A e. _V <-> E. x ~P A e. ~P x )
9		vex	|- x e. _V
10	9	elpw2	|- ( ~P A e. ~P x <-> ~P A C_ x )
11		pwss	|- ( ~P A C_ x <-> A. y ( y C_ A -> y e. x ) )
12		dfss2	|- ( y C_ A <-> A. z ( z e. y -> z e. A ) )
13	12	imbi1i	|- ( ( y C_ A -> y e. x ) <-> ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )
14	13	albii	|- ( A. y ( y C_ A -> y e. x ) <-> A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )
15	11 14	bitri	|- ( ~P A C_ x <-> A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )
16	10 15	bitri	|- ( ~P A e. ~P x <-> A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )
17	16	exbii	|- ( E. x ~P A e. ~P x <-> E. x A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )
18	8 17	bitri	|- ( ~P A e. _V <-> E. x A. y ( A. z ( z e. y -> z e. A ) -> y e. x ) )