Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
axunndlem1 |
|- E. w A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) |
2 |
|
nfnae |
|- F/ x -. A. x x = y |
3 |
|
nfnae |
|- F/ x -. A. x x = z |
4 |
2 3
|
nfan |
|- F/ x ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
5 |
|
nfnae |
|- F/ y -. A. x x = y |
6 |
|
nfnae |
|- F/ y -. A. x x = z |
7 |
5 6
|
nfan |
|- F/ y ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
8 |
|
nfv |
|- F/ w ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) |
9 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. x x = y -> F/_ x y ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x y ) |
11 |
|
nfcvd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x w ) |
12 |
10 11
|
nfeld |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x y e. w ) |
13 |
|
nfcvf |
|- ( -. A. x x = z -> F/_ x z ) |
14 |
13
|
adantl |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ x z ) |
15 |
11 14
|
nfeld |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x w e. z ) |
16 |
12 15
|
nfand |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( y e. w /\ w e. z ) ) |
17 |
8 16
|
nfexd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x E. w ( y e. w /\ w e. z ) ) |
18 |
17 12
|
nfimd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) ) |
19 |
7 18
|
nfald |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) ) |
20 |
|
nfcvd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y w ) |
21 |
|
nfcvf2 |
|- ( -. A. x x = y -> F/_ y x ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/_ y x ) |
23 |
20 22
|
nfeqd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> F/ y w = x ) |
24 |
7 23
|
nfan1 |
|- F/ y ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) |
25 |
|
elequ2 |
|- ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) ) |
26 |
|
elequ1 |
|- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) ) |
27 |
25 26
|
anbi12d |
|- ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) ) |
28 |
27
|
a1i |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) ) ) |
29 |
4 16 28
|
cbvexd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) ) |
31 |
25
|
adantl |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( y e. w <-> y e. x ) ) |
32 |
30 31
|
imbi12d |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
33 |
24 32
|
albid |
|- ( ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) /\ w = x ) -> ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
34 |
33
|
ex |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( w = x -> ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) ) |
35 |
4 19 34
|
cbvexd |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> ( E. w A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. w ) <-> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
36 |
1 35
|
mpbii |
|- ( ( -. A. x x = y /\ -. A. x x = z ) -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) ) |
38 |
|
nfae |
|- F/ y A. x x = y |
39 |
|
nfae |
|- F/ x A. x x = y |
40 |
|
elirrv |
|- -. y e. y |
41 |
|
elequ2 |
|- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) ) |
42 |
40 41
|
mtbiri |
|- ( x = y -> -. y e. x ) |
43 |
42
|
intnanrd |
|- ( x = y -> -. ( y e. x /\ x e. z ) ) |
44 |
43
|
sps |
|- ( A. x x = y -> -. ( y e. x /\ x e. z ) ) |
45 |
39 44
|
nexd |
|- ( A. x x = y -> -. E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) |
46 |
45
|
pm2.21d |
|- ( A. x x = y -> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
47 |
38 46
|
alrimi |
|- ( A. x x = y -> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
48 |
47
|
19.8ad |
|- ( A. x x = y -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
49 |
|
nfae |
|- F/ y A. x x = z |
50 |
|
nfae |
|- F/ x A. x x = z |
51 |
|
elirrv |
|- -. z e. z |
52 |
|
elequ1 |
|- ( x = z -> ( x e. z <-> z e. z ) ) |
53 |
51 52
|
mtbiri |
|- ( x = z -> -. x e. z ) |
54 |
53
|
intnand |
|- ( x = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) ) |
55 |
54
|
sps |
|- ( A. x x = z -> -. ( y e. x /\ x e. z ) ) |
56 |
50 55
|
nexd |
|- ( A. x x = z -> -. E. x ( y e. x /\ x e. z ) ) |
57 |
56
|
pm2.21d |
|- ( A. x x = z -> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
58 |
49 57
|
alrimi |
|- ( A. x x = z -> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
59 |
58
|
19.8ad |
|- ( A. x x = z -> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) ) |
60 |
37 48 59
|
pm2.61ii |
|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) |