Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rankon |
|- ( rank ` y ) e. On |
2 |
1
|
onordi |
|- Ord ( rank ` y ) |
3 |
|
eloni |
|- ( x e. On -> Ord x ) |
4 |
|
ordsucsssuc |
|- ( ( Ord ( rank ` y ) /\ Ord x ) -> ( ( rank ` y ) C_ x <-> suc ( rank ` y ) C_ suc x ) ) |
5 |
2 3 4
|
sylancr |
|- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x <-> suc ( rank ` y ) C_ suc x ) ) |
6 |
1
|
onsuci |
|- suc ( rank ` y ) e. On |
7 |
|
suceloni |
|- ( x e. On -> suc x e. On ) |
8 |
|
r1ord3 |
|- ( ( suc ( rank ` y ) e. On /\ suc x e. On ) -> ( suc ( rank ` y ) C_ suc x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) ) |
9 |
6 7 8
|
sylancr |
|- ( x e. On -> ( suc ( rank ` y ) C_ suc x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) ) |
10 |
5 9
|
sylbid |
|- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) ) ) |
11 |
|
vex |
|- y e. _V |
12 |
11
|
rankid |
|- y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) |
13 |
|
ssel |
|- ( ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) C_ ( R1 ` suc x ) -> ( y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) -> y e. ( R1 ` suc x ) ) ) |
14 |
10 12 13
|
syl6mpi |
|- ( x e. On -> ( ( rank ` y ) C_ x -> y e. ( R1 ` suc x ) ) ) |
15 |
14
|
ralimdv |
|- ( x e. On -> ( A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) ) ) |
16 |
|
dfss3 |
|- ( A C_ ( R1 ` suc x ) <-> A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) ) |
17 |
|
fvex |
|- ( R1 ` suc x ) e. _V |
18 |
17
|
ssex |
|- ( A C_ ( R1 ` suc x ) -> A e. _V ) |
19 |
16 18
|
sylbir |
|- ( A. y e. A y e. ( R1 ` suc x ) -> A e. _V ) |
20 |
15 19
|
syl6 |
|- ( x e. On -> ( A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A e. _V ) ) |
21 |
20
|
rexlimiv |
|- ( E. x e. On A. y e. A ( rank ` y ) C_ x -> A e. _V ) |