Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
caurcvgr.1 |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
2 |
|
caurcvgr.2 |
|- ( ph -> F : A --> RR ) |
3 |
|
caurcvgr.3 |
|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
4 |
|
caurcvgr.4 |
|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) |
5 |
|
1rp |
|- 1 e. RR+ |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ph -> 1 e. RR+ ) |
7 |
1 2 3 4 6
|
caucvgrlem |
|- ( ph -> E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) ) |
8 |
|
simpl |
|- ( ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
9 |
8
|
rexlimivw |
|- ( E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. 1 ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
10 |
7 9
|
syl |
|- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
11 |
10
|
recnd |
|- ( ph -> ( limsup ` F ) e. CC ) |
12 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A C_ RR ) |
13 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> F : A --> RR ) |
14 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
15 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) |
16 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ ) |
17 |
|
3rp |
|- 3 e. RR+ |
18 |
|
rpdivcl |
|- ( ( y e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( y / 3 ) e. RR+ ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 3 ) e. RR+ ) |
20 |
12 13 14 15 19
|
caucvgrlem |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) ) |
21 |
|
simpr |
|- ( ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) |
22 |
21
|
reximi |
|- ( E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) |
23 |
20 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) |
24 |
|
ssrexv |
|- ( A C_ RR -> ( E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) ) |
25 |
12 23 24
|
sylc |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) ) |
26 |
|
rpcn |
|- ( y e. RR+ -> y e. CC ) |
27 |
26
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. CC ) |
28 |
|
3cn |
|- 3 e. CC |
29 |
28
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 3 e. CC ) |
30 |
|
3ne0 |
|- 3 =/= 0 |
31 |
30
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> 3 =/= 0 ) |
32 |
27 29 31
|
divcan2d |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( 3 x. ( y / 3 ) ) = y ) |
33 |
32
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) |
34 |
33
|
imbi2d |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) <-> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) ) |
35 |
34
|
rexralbidv |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. ( y / 3 ) ) ) <-> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) ) |
36 |
25 35
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) |
37 |
36
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. y e. RR+ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) |
38 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
39 |
|
fss |
|- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : A --> CC ) |
40 |
2 38 39
|
sylancl |
|- ( ph -> F : A --> CC ) |
41 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) ) |
42 |
40 1 41
|
rlim |
|- ( ph -> ( F ~~>r ( limsup ` F ) <-> ( ( limsup ` F ) e. CC /\ A. y e. RR+ E. j e. RR A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < y ) ) ) ) |
43 |
11 37 42
|
mpbir2and |
|- ( ph -> F ~~>r ( limsup ` F ) ) |