Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
caurcvgr.1 |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
2 |
|
caurcvgr.2 |
|- ( ph -> F : A --> RR ) |
3 |
|
caurcvgr.3 |
|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
4 |
|
caurcvgr.4 |
|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) ) |
5 |
|
caucvgrlem.4 |
|- ( ph -> R e. RR+ ) |
6 |
|
reex |
|- RR e. _V |
7 |
6
|
ssex |
|- ( A C_ RR -> A e. _V ) |
8 |
1 7
|
syl |
|- ( ph -> A e. _V ) |
9 |
6
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. _V ) |
10 |
|
fex2 |
|- ( ( F : A --> RR /\ A e. _V /\ RR e. _V ) -> F e. _V ) |
11 |
2 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ph -> F e. _V ) |
12 |
|
limsupcl |
|- ( F e. _V -> ( limsup ` F ) e. RR* ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR* ) |
15 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> F : A --> RR ) |
16 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> j e. A ) |
17 |
15 16
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) |
18 |
5
|
rpred |
|- ( ph -> R e. RR ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> R e. RR ) |
20 |
17 19
|
readdcld |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( F ` j ) + R ) e. RR ) |
21 |
|
mnfxr |
|- -oo e. RR* |
22 |
21
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> -oo e. RR* ) |
23 |
17 19
|
resubcld |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) e. RR ) |
24 |
23
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) e. RR* ) |
25 |
23
|
mnfltd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> -oo < ( ( F ` j ) - R ) ) |
26 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A C_ RR ) |
27 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
28 |
|
fss |
|- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ RR* ) -> F : A --> RR* ) |
29 |
2 27 28
|
sylancl |
|- ( ph -> F : A --> RR* ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> F : A --> RR* ) |
31 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) |
32 |
26 16
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> j e. RR ) |
33 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
34 |
|
breq2 |
|- ( k = m -> ( j <_ k <-> j <_ m ) ) |
35 |
34
|
imbrov2fvoveq |
|- ( k = m -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) <-> ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) |
36 |
35
|
cbvralvw |
|- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) <-> A. m e. A ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
37 |
33 36
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. m e. A ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
38 |
15
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( F ` m ) e. RR ) |
39 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( F ` j ) e. RR ) |
40 |
38 39
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) e. RR ) |
41 |
40
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) e. CC ) |
42 |
41
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) |
43 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> R e. RR ) |
44 |
|
ltle |
|- ( ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) <_ R ) ) |
45 |
42 43 44
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) <_ R ) ) |
46 |
38 39 43
|
absdifled |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) <_ R <-> ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) /\ ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) ) |
47 |
45 46
|
sylibd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R -> ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) /\ ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) ) |
48 |
|
simpl |
|- ( ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) /\ ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) |
49 |
47 48
|
syl6 |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) |
50 |
49
|
imim2d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) -> ( j <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) ) |
51 |
50
|
ralimdva |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( A. m e. A ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) -> A. m e. A ( j <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) ) |
52 |
37 51
|
mpd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. m e. A ( j <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) |
53 |
|
breq1 |
|- ( n = j -> ( n <_ m <-> j <_ m ) ) |
54 |
53
|
rspceaimv |
|- ( ( j e. RR /\ A. m e. A ( j <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) -> E. n e. RR A. m e. A ( n <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) |
55 |
32 52 54
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> E. n e. RR A. m e. A ( n <_ m -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) ) |
56 |
26 30 24 31 55
|
limsupbnd2 |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( limsup ` F ) ) |
57 |
22 24 14 25 56
|
xrltletrd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> -oo < ( limsup ` F ) ) |
58 |
20
|
rexrd |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( F ` j ) + R ) e. RR* ) |
59 |
42
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) e. RR ) |
60 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> R e. RR ) |
61 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> j <_ m ) |
62 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
63 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> m e. A ) |
64 |
35 62 63
|
rspcdva |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
65 |
61 64
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) < R ) |
66 |
59 60 65
|
ltled |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) <_ R ) |
67 |
38
|
adantrr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( F ` m ) e. RR ) |
68 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) |
69 |
67 68 60
|
absdifled |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) <_ R <-> ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) /\ ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) ) |
70 |
66 69
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) /\ ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
71 |
70
|
simprd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) |
72 |
71
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( j <_ m -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
73 |
72
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. m e. A ( j <_ m -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
74 |
53
|
rspceaimv |
|- ( ( j e. RR /\ A. m e. A ( j <_ m -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) -> E. n e. RR A. m e. A ( n <_ m -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
75 |
32 73 74
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> E. n e. RR A. m e. A ( n <_ m -> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
76 |
26 30 58 75
|
limsupbnd1 |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( limsup ` F ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) |
77 |
|
xrre |
|- ( ( ( ( limsup ` F ) e. RR* /\ ( ( F ` j ) + R ) e. RR ) /\ ( -oo < ( limsup ` F ) /\ ( limsup ` F ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
78 |
14 20 57 76 77
|
syl22anc |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
79 |
78
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR ) |
80 |
67 79
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) e. RR ) |
81 |
80
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) e. CC ) |
82 |
81
|
abscld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) e. RR ) |
83 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
84 |
|
remulcl |
|- ( ( 2 e. RR /\ R e. RR ) -> ( 2 x. R ) e. RR ) |
85 |
83 60 84
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( 2 x. R ) e. RR ) |
86 |
|
3re |
|- 3 e. RR |
87 |
|
remulcl |
|- ( ( 3 e. RR /\ R e. RR ) -> ( 3 x. R ) e. RR ) |
88 |
86 60 87
|
sylancr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( 3 x. R ) e. RR ) |
89 |
67
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( F ` m ) e. CC ) |
90 |
79
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( limsup ` F ) e. CC ) |
91 |
89 90
|
abssubd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) = ( abs ` ( ( limsup ` F ) - ( F ` m ) ) ) ) |
92 |
67 85
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) e. RR ) |
93 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) e. RR ) |
94 |
60
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> R e. CC ) |
95 |
94
|
2timesd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( 2 x. R ) = ( R + R ) ) |
96 |
95
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) = ( ( F ` m ) - ( R + R ) ) ) |
97 |
89 94 94
|
subsub4d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` m ) - R ) - R ) = ( ( F ` m ) - ( R + R ) ) ) |
98 |
96 97
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) = ( ( ( F ` m ) - R ) - R ) ) |
99 |
67 60
|
resubcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - R ) e. RR ) |
100 |
67 60 68
|
lesubaddd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` m ) - R ) <_ ( F ` j ) <-> ( F ` m ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) ) |
101 |
71 100
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - R ) <_ ( F ` j ) ) |
102 |
99 68 60 101
|
lesub1dd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` m ) - R ) - R ) <_ ( ( F ` j ) - R ) ) |
103 |
98 102
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) <_ ( ( F ` j ) - R ) ) |
104 |
56
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( limsup ` F ) ) |
105 |
92 93 79 103 104
|
letrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) <_ ( limsup ` F ) ) |
106 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) + R ) e. RR ) |
107 |
67 85
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) e. RR ) |
108 |
76
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( limsup ` F ) <_ ( ( F ` j ) + R ) ) |
109 |
67 60
|
readdcld |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) + R ) e. RR ) |
110 |
70 48
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) ) |
111 |
68 60 67
|
lesubaddd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` j ) - R ) <_ ( F ` m ) <-> ( F ` j ) <_ ( ( F ` m ) + R ) ) ) |
112 |
110 111
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( F ` j ) <_ ( ( F ` m ) + R ) ) |
113 |
68 109 60 112
|
leadd1dd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) + R ) <_ ( ( ( F ` m ) + R ) + R ) ) |
114 |
89 94 94
|
addassd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` m ) + R ) + R ) = ( ( F ` m ) + ( R + R ) ) ) |
115 |
95
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) = ( ( F ` m ) + ( R + R ) ) ) |
116 |
114 115
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( ( F ` m ) + R ) + R ) = ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) ) |
117 |
113 116
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( F ` j ) + R ) <_ ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) ) |
118 |
79 106 107 108 117
|
letrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( limsup ` F ) <_ ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) ) |
119 |
79 67 85
|
absdifled |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( ( abs ` ( ( limsup ` F ) - ( F ` m ) ) ) <_ ( 2 x. R ) <-> ( ( ( F ` m ) - ( 2 x. R ) ) <_ ( limsup ` F ) /\ ( limsup ` F ) <_ ( ( F ` m ) + ( 2 x. R ) ) ) ) ) |
120 |
105 118 119
|
mpbir2and |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( limsup ` F ) - ( F ` m ) ) ) <_ ( 2 x. R ) ) |
121 |
91 120
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) <_ ( 2 x. R ) ) |
122 |
|
2lt3 |
|- 2 < 3 |
123 |
83
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> 2 e. RR ) |
124 |
86
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> 3 e. RR ) |
125 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> R e. RR+ ) |
126 |
125
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> R e. RR+ ) |
127 |
123 124 126
|
ltmul1d |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( 2 < 3 <-> ( 2 x. R ) < ( 3 x. R ) ) ) |
128 |
122 127
|
mpbii |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( 2 x. R ) < ( 3 x. R ) ) |
129 |
82 85 88 121 128
|
lelttrd |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ ( m e. A /\ j <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) |
130 |
129
|
expr |
|- ( ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) /\ m e. A ) -> ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) |
131 |
130
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. m e. A ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) |
132 |
34
|
imbrov2fvoveq |
|- ( k = m -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) <-> ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) ) |
133 |
132
|
cbvralvw |
|- ( A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) <-> A. m e. A ( j <_ m -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) |
134 |
131 133
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) |
135 |
78 134
|
jca |
|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) -> ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) ) |
136 |
|
breq2 |
|- ( x = R -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
137 |
136
|
imbi2d |
|- ( x = R -> ( ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) |
138 |
137
|
rexralbidv |
|- ( x = R -> ( E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) ) |
139 |
138 4 5
|
rspcdva |
|- ( ph -> E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < R ) ) |
140 |
135 139
|
reximddv |
|- ( ph -> E. j e. A ( ( limsup ` F ) e. RR /\ A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( limsup ` F ) ) ) < ( 3 x. R ) ) ) ) |