Theorem cbvralvw2

Description: Change bound variable and domain in the restricted universal quantifier, using implicit substitution. (Contributed by GG, 14-Aug-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	cbvralvw2.1	|- ( x = y -> A = B )
	cbvralvw2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	cbvralvw2	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. B ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvralvw2.1	|- ( x = y -> A = B )
2		cbvralvw2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
3		eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
4	1	eleq2d	|- ( x = y -> ( y e. A <-> y e. B ) )
5	3 4	bitrd	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. B ) )
6	5 2	imbi12d	|- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. B -> ps ) ) )
7	6	cbvalvw	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. y ( y e. B -> ps ) )
8		df-ral	|- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
9		df-ral	|- ( A. y e. B ps <-> A. y ( y e. B -> ps ) )
10	7 8 9	3bitr4i	|- ( A. x e. A ph <-> A. y e. B ps )