Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme26eALTN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. F , N , O represent f(z), f_z(s), f_z(t) respectively. When t \/ v = p \/ q, f_z(s) <_ f_z(t) \/ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleme26.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme26.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme26.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme26.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme26.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme26.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme26eALT.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme26eALT.f 
|- F = ( ( y .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ y ) ./\ W ) ) )
cdleme26eALT.g 
|- G = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme26eALT.n 
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) )
cdleme26eALT.o 
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
cdleme26eALT.i 
|- I = ( iota_ u e. B A. y e. A ( ( -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
cdleme26eALT.e 
|- E = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) )
Assertion cdleme26eALTN 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme26.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme26.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme26.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme26.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme26.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme26.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme26eALT.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme26eALT.f 
 |-  F = ( ( y .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ y ) ./\ W ) ) )
9 cdleme26eALT.g 
 |-  G = ( ( z .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ z ) ./\ W ) ) )
10 cdleme26eALT.n 
 |-  N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( S .\/ y ) ./\ W ) ) )
11 cdleme26eALT.o 
 |-  O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ ( ( T .\/ z ) ./\ W ) ) )
12 cdleme26eALT.i 
 |-  I = ( iota_ u e. B A. y e. A ( ( -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = N ) )
13 cdleme26eALT.e 
 |-  E = ( iota_ u e. B A. z e. A ( ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) -> u = O ) )
14 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> K e. HL )
15 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> W e. H )
16 simp231 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> T e. A )
17 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
18 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
19 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
20 simp221 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> S e. A )
21 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) )
22 simp21 
 |-  ( ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> y e. A )
23 22 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> y e. A )
24 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. y .<_ W )
25 simp31 
 |-  ( ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> z e. A )
26 25 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> z e. A )
27 simp332 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. z .<_ W )
28 26 27 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( z e. A /\ -. z .<_ W ) )
29 23 24 28 jca31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) )
30 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdleme22eALTN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( S e. A /\ ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( y e. A /\ -. y .<_ W ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W ) ) ) ) -> N .<_ ( O .\/ V ) )
31 14 15 16 17 18 19 20 21 29 30 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> N .<_ ( O .\/ V ) )
32 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33 simp222 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. S .<_ W )
34 simp223 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> S .<_ ( P .\/ Q ) )
35 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 cdleme25cl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> I e. B )
36 32 17 18 20 33 19 34 35 syl322anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> I e. B )
37 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. y .<_ ( P .\/ Q ) )
38 1 fvexi 
 |-  B e. _V
39 38 12 riotasv 
 |-  ( ( I e. B /\ y e. A /\ ( -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> I = N )
40 36 23 24 37 39 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> I = N )
41 simp232 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. T .<_ W )
42 simp233 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> T .<_ ( P .\/ Q ) )
43 1 2 3 4 5 6 7 9 11 13 cdleme25cl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( P =/= Q /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E e. B )
44 32 17 18 16 41 19 42 43 syl322anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> E e. B )
45 simp333 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. z .<_ ( P .\/ Q ) )
46 38 13 riotasv 
 |-  ( ( E e. B /\ z e. A /\ ( -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E = O )
47 44 26 27 45 46 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> E = O )
48 47 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( E .\/ V ) = ( O .\/ V ) )
49 31 40 48 3brtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W /\ T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ ( ( V e. A /\ V .<_ W /\ ( T .\/ V ) = ( P .\/ Q ) ) /\ ( y e. A /\ -. y .<_ W /\ -. y .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( z e. A /\ -. z .<_ W /\ -. z .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> I .<_ ( E .\/ V ) )