Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemef46g.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemef46g.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemef46g.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemef46g.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemef46g.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemef46g.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemef46g.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
8 |
|
cdlemef46g.d |
|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdlemefs46g.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdlemef46g.f |
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) ) |
11 |
|
cdlemef46.v |
|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W ) |
12 |
|
cdlemef46.n |
|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) ) |
13 |
|
cdlemefs46.o |
|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) ) |
14 |
|
cdlemef46.g |
|- G = ( a e. B |-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) ) |
15 |
|
simp1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
16 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> P =/= Q ) |
17 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> X e. B ) |
18 |
|
vex |
|- s e. _V |
19 |
|
eqid |
|- ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) |
20 |
8 19
|
cdleme31sc |
|- ( s e. _V -> [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) ) |
21 |
18 20
|
ax-mp |
|- [_ s / t ]_ D = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) = ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) |
23 |
|
eqid |
|- if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) |
24 |
|
eqid |
|- ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) |
25 |
1 2 3 4 5 6 7 21 8 9 22 23 24 10
|
cdleme32fvcl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B ) |
26 |
15 17 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( F ` X ) e. B ) |
27 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme48bw |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> -. ( F ` X ) .<_ W ) |
28 |
26 27
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( F ` X ) e. B /\ -. ( F ` X ) .<_ W ) ) |
29 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
30 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme46fvaw |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) -> ( ( F ` S ) e. A /\ -. ( F ` S ) .<_ W ) ) |
31 |
15 29 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( F ` S ) e. A /\ -. ( F ` S ) .<_ W ) ) |
32 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme48b |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( F ` X ) ./\ W ) = ( X ./\ W ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( F ` S ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) = ( ( F ` S ) .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
34 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdleme48fv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( F ` X ) = ( ( F ` S ) .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
35 |
33 34
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( F ` S ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) = ( F ` X ) ) |
36 |
1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
|
cdleme4gfv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( ( F ` X ) e. B /\ -. ( F ` X ) .<_ W ) ) /\ ( ( ( F ` S ) e. A /\ -. ( F ` S ) .<_ W ) /\ ( ( F ` S ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) = ( F ` X ) ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = ( ( G ` ( F ` S ) ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) ) |
37 |
15 16 28 31 35 36
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = ( ( G ` ( F ` S ) ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) ) |
38 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
cdlemeg46gf |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) ) -> ( G ` ( F ` S ) ) = S ) |
39 |
15 16 29 38
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( G ` ( F ` S ) ) = S ) |
40 |
39 32
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( ( G ` ( F ` S ) ) .\/ ( ( F ` X ) ./\ W ) ) = ( S .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
41 |
|
simp3r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) |
42 |
37 40 41
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( S .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) ) -> ( G ` ( F ` X ) ) = X ) |