Theorem cdlemedb

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. D represents s_2. (Contributed by NM, 20-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemeda.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemeda.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemeda.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemeda.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemeda.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemeda.d	|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
	cdlemedb.b	|- B = ( Base ` K )
Assertion	cdlemedb	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> D e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemeda.l	|- .<_ = ( le ` K )
2		cdlemeda.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		cdlemeda.m	|- ./\ = ( meet ` K )
4		cdlemeda.a	|- A = ( Atoms ` K )
5		cdlemeda.h	|- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemeda.d	|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W )
7		cdlemedb.b	|- B = ( Base ` K )
8		hllat	|- ( K e. HL -> K e. Lat )
9	8	ad2antrr	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> K e. Lat )
10		simpll	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> K e. HL )
11		simprl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> R e. A )
12		simprr	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> S e. A )
13	7 2 4	hlatjcl	|- ( ( K e. HL /\ R e. A /\ S e. A ) -> ( R .\/ S ) e. B )
14	10 11 12 13	syl3anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( R .\/ S ) e. B )
15	7 5	lhpbase	|- ( W e. H -> W e. B )
16	15	ad2antlr	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> W e. B )
17	7 3	latmcl	|- ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ S ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
18	9 14 16 17	syl3anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) e. B )
19	6 18	eqeltrid	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ S e. A ) ) -> D e. B )