Theorem cdlemg2cex

Description: Any translation is one of our F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf ? (Contributed by NM, 22-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg2.b	|- B = ( Base ` K )
	cdlemg2.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemg2.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemg2.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemg2.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemg2.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemg2.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemg2ex.u	|- U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
	cdlemg2ex.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemg2ex.e	|- E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemg2ex.g	|- G = ( x e. B |-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
Assertion	cdlemg2cex	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2.b	|- B = ( Base ` K )
2		cdlemg2.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemg2.j	|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemg2.m	|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemg2.a	|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemg2.h	|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemg2.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemg2ex.u	|- U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
9		cdlemg2ex.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemg2ex.e	|- E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11		cdlemg2ex.g	|- G = ( x e. B |-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
12	2 5 6 7	cdlemg1cex	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )
13		simplll	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> K e. HL )
14		simpllr	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> W e. H )
15		simplrl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> p e. A )
16		simprl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> -. p .<_ W )
17		simplrr	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> q e. A )
18		simprr	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> -. q .<_ W )
19		eqid	|- ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q )
20	1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 7 19	cdlemg1b2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) -> ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) = G )
21	13 14 15 16 17 18 20	syl222anc	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) = G )
22	21	eqeq2d	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) ) -> ( F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) <-> F = G ) )
23	22	pm5.32da	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ F = G ) ) )
24		df-3an	|- ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
25		df-3an	|- ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) <-> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ F = G ) )
26	23 24 25	3bitr4g	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
27	26	2rexbidva	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
28	12 27	bitrd	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )