cdlemg2ce

Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg2.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemg2.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemg2.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemg2.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemg2.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemg2.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemg2.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemg2ex.u	\|- U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
	cdlemg2ex.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemg2ex.e	\|- E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemg2ex.g	\|- G = ( x e. B \|-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
	cdlemg2ce.p	\|- ( F = G -> ( ps <-> ch ) )
	cdlemg2ce.c	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ ph ) -> ch )
Assertion	cdlemg2ce	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemg2.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemg2.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemg2.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemg2.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemg2.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemg2.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemg2ex.u	\|- U = ( ( p .\/ q ) ./\ W )
9		cdlemg2ex.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( q .\/ ( ( p .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemg2ex.e	\|- E = ( ( p .\/ q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
11		cdlemg2ex.g	\|- G = ( x e. B \|-> if ( ( p =/= q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( p .\/ q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( p .\/ q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
12		cdlemg2ce.p	\|- ( F = G -> ( ps <-> ch ) )
13		cdlemg2ce.c	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ ph ) -> ch )
14		simp2	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> F e. T )
15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemg2cex	\|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
16	15	3ad2ant1	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) )
17	14 16	mpbid	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) )
18		simp11	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19		simp2l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> p e. A )
20		simp31	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> -. p .<_ W )
21	19 20	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
22		simp2r	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> q e. A )
23		simp32	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> -. q .<_ W )
24	22 23	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
25		simp13	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ph )
26	18 21 24 25 13	syl31anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ch )
27		simp33	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> F = G )
28	27 12	syl	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ( ps <-> ch ) )
29	26 28	mpbird	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) ) -> ps )
30	29	3exp	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( ( p e. A /\ q e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) -> ps ) ) )
31	30	rexlimdvv	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ( E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = G ) -> ps ) )
32	17 31	mpd	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ph ) -> ps )

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Theorem cdlemg2ce

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