Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemj.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemj.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
cdlemj.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
cdlemj.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
5 |
|
cdlemj.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
6 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
9 |
7 8 2
|
lhpexle2 |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. u e. ( Atoms ` K ) ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) |
10 |
6 9
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> E. u e. ( Atoms ` K ) ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) |
11 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> K e. HL ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> K e. HL ) |
13 |
|
simpl1r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> W e. H ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> W e. H ) |
15 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> u e. ( Atoms ` K ) ) |
16 |
|
simprr1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> u ( le ` K ) W ) |
17 |
1 7 8 2 3 4
|
cdlemfnid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ u ( le ` K ) W ) ) -> E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) |
18 |
12 14 15 16 17
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) |
19 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) ) |
20 |
|
simp1r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> h =/= ( _I |` B ) ) |
21 |
|
simp3l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> g e. T ) |
22 |
|
simp3rr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> g =/= ( _I |` B ) ) |
23 |
|
simp2r2 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> u =/= ( R ` F ) ) |
24 |
23
|
necomd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` F ) =/= u ) |
25 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` g ) = u ) |
26 |
24 25
|
neeqtrrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` g ) ) |
27 |
|
simp2r3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> u =/= ( R ` h ) ) |
28 |
25 27
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` g ) =/= ( R ` h ) ) |
29 |
1 2 3 4 5
|
cdlemj2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ ( h =/= ( _I |` B ) /\ g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) /\ ( ( R ` F ) =/= ( R ` g ) /\ ( R ` g ) =/= ( R ` h ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) |
30 |
19 20 21 22 26 28 29
|
syl132anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) |
31 |
30
|
3expia |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) ) |
32 |
31
|
expd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( g e. T -> ( ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) ) ) |
33 |
32
|
rexlimdv |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) ) |
34 |
18 33
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) |
35 |
10 34
|
rexlimddv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) |