# Metamath Proof Explorer

## Theorem cdleml4N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleml1.b
|- B = ( Base ` K )
cdleml1.h
|- H = ( LHyp ` K )
cdleml1.t
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdleml1.r
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdleml1.e
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdleml3.o
|- .0. = ( g e. T |-> ( _I |` B ) )
Assertion cdleml4N
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) -> E. s e. E ( s o. U ) = V )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleml1.b
|-  B = ( Base ` K )
2 cdleml1.h
|-  H = ( LHyp ` K )
3 cdleml1.t
|-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4 cdleml1.r
|-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
5 cdleml1.e
|-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
6 cdleml3.o
|-  .0. = ( g e. T |-> ( _I |` B ) )
7 1 2 3 cdlemftr0
|-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. f e. T f =/= ( _I |` B ) )
|-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) -> E. f e. T f =/= ( _I |` B ) )
9 simp11
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 simp12l
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> U e. E )
11 simp12r
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> V e. E )
12 simp2
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> f e. T )
13 simp3
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> f =/= ( _I |` B ) )
14 simp13l
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> U =/= .0. )
15 simp13r
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> V =/= .0. )
16 1 2 3 4 5 6 cdleml3N
|-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ f e. T ) /\ ( f =/= ( _I |` B ) /\ U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) -> E. s e. E ( s o. U ) = V )
17 9 10 11 12 13 14 15 16 syl133anc
|-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) /\ f e. T /\ f =/= ( _I |` B ) ) -> E. s e. E ( s o. U ) = V )
18 17 rexlimdv3a
|-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) -> ( E. f e. T f =/= ( _I |` B ) -> E. s e. E ( s o. U ) = V ) )
19 8 18 mpd
|-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E ) /\ ( U =/= .0. /\ V =/= .0. ) ) -> E. s e. E ( s o. U ) = V )