Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cflim3.1 |
|- A e. _V |
2 |
|
limord |
|- ( Lim A -> Ord A ) |
3 |
1
|
elon |
|- ( A e. On <-> Ord A ) |
4 |
2 3
|
sylibr |
|- ( Lim A -> A e. On ) |
5 |
|
cfval |
|- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { y | E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) } ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( Lim A -> ( cf ` A ) = |^| { y | E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) } ) |
7 |
|
fvex |
|- ( card ` x ) e. _V |
8 |
7
|
dfiin2 |
|- |^|_ x e. { x e. ~P A | U. x = A } ( card ` x ) = |^| { y | E. x e. { x e. ~P A | U. x = A } y = ( card ` x ) } |
9 |
|
df-rex |
|- ( E. x e. { x e. ~P A | U. x = A } y = ( card ` x ) <-> E. x ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } /\ y = ( card ` x ) ) ) |
10 |
|
ancom |
|- ( ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } /\ y = ( card ` x ) ) <-> ( y = ( card ` x ) /\ x e. { x e. ~P A | U. x = A } ) ) |
11 |
|
rabid |
|- ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } <-> ( x e. ~P A /\ U. x = A ) ) |
12 |
|
velpw |
|- ( x e. ~P A <-> x C_ A ) |
13 |
12
|
anbi1i |
|- ( ( x e. ~P A /\ U. x = A ) <-> ( x C_ A /\ U. x = A ) ) |
14 |
|
coflim |
|- ( ( Lim A /\ x C_ A ) -> ( U. x = A <-> A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) |
15 |
14
|
pm5.32da |
|- ( Lim A -> ( ( x C_ A /\ U. x = A ) <-> ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) |
16 |
13 15
|
syl5bb |
|- ( Lim A -> ( ( x e. ~P A /\ U. x = A ) <-> ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) |
17 |
11 16
|
syl5bb |
|- ( Lim A -> ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } <-> ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) |
18 |
17
|
anbi2d |
|- ( Lim A -> ( ( y = ( card ` x ) /\ x e. { x e. ~P A | U. x = A } ) <-> ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) ) |
19 |
10 18
|
syl5bb |
|- ( Lim A -> ( ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } /\ y = ( card ` x ) ) <-> ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) ) |
20 |
19
|
exbidv |
|- ( Lim A -> ( E. x ( x e. { x e. ~P A | U. x = A } /\ y = ( card ` x ) ) <-> E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) ) |
21 |
9 20
|
syl5bb |
|- ( Lim A -> ( E. x e. { x e. ~P A | U. x = A } y = ( card ` x ) <-> E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) ) ) |
22 |
21
|
abbidv |
|- ( Lim A -> { y | E. x e. { x e. ~P A | U. x = A } y = ( card ` x ) } = { y | E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) } ) |
23 |
22
|
inteqd |
|- ( Lim A -> |^| { y | E. x e. { x e. ~P A | U. x = A } y = ( card ` x ) } = |^| { y | E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) } ) |
24 |
8 23
|
eqtr2id |
|- ( Lim A -> |^| { y | E. x ( y = ( card ` x ) /\ ( x C_ A /\ A. z e. A E. w e. x z C_ w ) ) } = |^|_ x e. { x e. ~P A | U. x = A } ( card ` x ) ) |
25 |
6 24
|
eqtrd |
|- ( Lim A -> ( cf ` A ) = |^|_ x e. { x e. ~P A | U. x = A } ( card ` x ) ) |