Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
recl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR ) |
2 |
1
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC ) |
3 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
4 |
|
imcl |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR ) |
5 |
4
|
recnd |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC ) |
6 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
7 |
3 5 6
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
8 |
2 7
|
negsubd |
|- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
9 |
|
mulneg2 |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) |
10 |
3 5 9
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
12 |
|
remim |
|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
13 |
8 11 12
|
3eqtr4rd |
|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) ) |
14 |
|
replim |
|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
eqeq12d |
|- ( A e. CC -> ( ( * ` A ) = A <-> ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) ) |
16 |
5
|
negcld |
|- ( A e. CC -> -u ( Im ` A ) e. CC ) |
17 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ -u ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC ) |
18 |
3 16 17
|
sylancr |
|- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) e. CC ) |
19 |
2 18 7
|
addcand |
|- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. -u ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) <-> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
20 |
|
eqcom |
|- ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) ) |
21 |
5
|
eqnegd |
|- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = -u ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) ) |
22 |
20 21
|
syl5bb |
|- ( A e. CC -> ( -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) <-> ( Im ` A ) = 0 ) ) |
23 |
|
ine0 |
|- _i =/= 0 |
24 |
3 23
|
pm3.2i |
|- ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( A e. CC -> ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) ) |
26 |
|
mulcan |
|- ( ( -u ( Im ` A ) e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC /\ ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) ) -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) ) |
27 |
16 5 25 26
|
syl3anc |
|- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> -u ( Im ` A ) = ( Im ` A ) ) ) |
28 |
|
reim0b |
|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) ) |
29 |
22 27 28
|
3bitr4d |
|- ( A e. CC -> ( ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = ( _i x. ( Im ` A ) ) <-> A e. RR ) ) |
30 |
15 19 29
|
3bitrrd |
|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( * ` A ) = A ) ) |