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Theorem climinf2

Description: A convergent, nonincreasing sequence, converges to the infimum of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021)

Ref Expression
Hypotheses climinf2.k 
|- F/ k ph
climinf2.n 
|- F/_ k F
climinf2.z 
|- Z = ( ZZ>= ` M )
climinf2.m 
|- ( ph -> M e. ZZ )
climinf2.f 
|- ( ph -> F : Z --> RR )
climinf2.l 
|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
climinf2.e 
|- ( ph -> E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) )
Assertion climinf2 
|- ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 climinf2.k 
 |-  F/ k ph
2 climinf2.n 
 |-  F/_ k F
3 climinf2.z 
 |-  Z = ( ZZ>= ` M )
4 climinf2.m 
 |-  ( ph -> M e. ZZ )
5 climinf2.f 
 |-  ( ph -> F : Z --> RR )
6 climinf2.l 
 |-  ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
7 climinf2.e 
 |-  ( ph -> E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) )
8 nfv 
 |-  F/ k j e. Z
9 1 8 nfan 
 |-  F/ k ( ph /\ j e. Z )
10 nfcv 
 |-  F/_ k ( j + 1 )
11 2 10 nffv 
 |-  F/_ k ( F ` ( j + 1 ) )
12 nfcv 
 |-  F/_ k <_
13 nfcv 
 |-  F/_ k j
14 2 13 nffv 
 |-  F/_ k ( F ` j )
15 11 12 14 nfbr 
 |-  F/ k ( F ` ( j + 1 ) ) <_ ( F ` j )
16 9 15 nfim 
 |-  F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) <_ ( F ` j ) )
17 eleq1w 
 |-  ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
18 17 anbi2d 
 |-  ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
19 fvoveq1 
 |-  ( k = j -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( j + 1 ) ) )
20 fveq2 
 |-  ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
21 19 20 breq12d 
 |-  ( k = j -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> ( F ` ( j + 1 ) ) <_ ( F ` j ) ) )
22 18 21 imbi12d 
 |-  ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) <_ ( F ` j ) ) ) )
23 16 22 6 chvarfv 
 |-  ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` ( j + 1 ) ) <_ ( F ` j ) )
24 breq1 
 |-  ( x = y -> ( x <_ ( F ` k ) <-> y <_ ( F ` k ) ) )
25 24 ralbidv 
 |-  ( x = y -> ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) <-> A. k e. Z y <_ ( F ` k ) ) )
26 nfv 
 |-  F/ j y <_ ( F ` k )
27 nfcv 
 |-  F/_ k y
28 27 12 14 nfbr 
 |-  F/ k y <_ ( F ` j )
29 20 breq2d 
 |-  ( k = j -> ( y <_ ( F ` k ) <-> y <_ ( F ` j ) ) )
30 26 28 29 cbvralw 
 |-  ( A. k e. Z y <_ ( F ` k ) <-> A. j e. Z y <_ ( F ` j ) )
31 30 a1i 
 |-  ( x = y -> ( A. k e. Z y <_ ( F ` k ) <-> A. j e. Z y <_ ( F ` j ) ) )
32 25 31 bitrd 
 |-  ( x = y -> ( A. k e. Z x <_ ( F ` k ) <-> A. j e. Z y <_ ( F ` j ) ) )
33 32 cbvrexvw 
 |-  ( E. x e. RR A. k e. Z x <_ ( F ` k ) <-> E. y e. RR A. j e. Z y <_ ( F ` j ) )
34 7 33 sylib 
 |-  ( ph -> E. y e. RR A. j e. Z y <_ ( F ` j ) )
35 3 4 5 23 34 climinf2lem 
 |-  ( ph -> F ~~> inf ( ran F , RR* , < ) )