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Theorem cmn4

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by NM, 4-Feb-2014) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses ablcom.b
|- B = ( Base ` G )
ablcom.p
|- .+ = ( +g ` G )
Assertion cmn4
|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ablcom.b
 |-  B = ( Base ` G )
2 ablcom.p
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 simp1
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
4 cmnmnd
 |-  ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
5 3 4 syl
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Mnd )
6 simp2l
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
7 simp2r
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
8 simp3l
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
9 simp3r
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
10 1 2 cmncom
 |-  ( ( G e. CMnd /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
11 3 7 8 10 syl3anc
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
12 1 2 5 6 7 8 9 11 mnd4g
 |-  ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )