Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncnp |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) ) |
2 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y ) |
3 |
|
cnpfcf |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) ) |
4 |
3
|
ad4ant124 |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) ) |
5 |
2 4
|
mpbirand |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
6 |
5
|
ralbidva |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
7 |
|
ralcom |
|- ( A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) |
8 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
9 |
8
|
fclselbas |
|- ( x e. ( J fClus f ) -> x e. U. J ) |
10 |
|
toponuni |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J ) |
11 |
10
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J ) |
12 |
11
|
eleq2d |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. X <-> x e. U. J ) ) |
13 |
9 12
|
syl5ibr |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fClus f ) -> x e. X ) ) |
14 |
13
|
pm4.71rd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fClus f ) <-> ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) ) ) |
15 |
14
|
imbi1d |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
16 |
|
impexp |
|- ( ( ( x e. X /\ x e. ( J fClus f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
17 |
15 16
|
bitrdi |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) ) |
18 |
17
|
ralbidv2 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) <-> A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
19 |
18
|
ralbidv |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
20 |
7 19
|
bitr4id |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fClus f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) |
21 |
6 20
|
bitrd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) |
22 |
21
|
pm5.32da |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |
23 |
1 22
|
bitrd |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fClus f ) ( F ` x ) e. ( ( K fClusf f ) ` F ) ) ) ) |