Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
alcom |
|- ( A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) |
2 |
|
relcnv |
|- Rel `' A |
3 |
|
ssrel |
|- ( Rel `' A -> ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
|- ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. y A. x ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) |
5 |
|
19.37v |
|- ( E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( x A y -> E. z ( x C z /\ z B y ) ) ) |
6 |
|
vex |
|- y e. _V |
7 |
|
vex |
|- x e. _V |
8 |
6 7
|
brcnv |
|- ( y `' A x <-> x A y ) |
9 |
|
df-br |
|- ( y `' A x <-> <. y , x >. e. `' A ) |
10 |
8 9
|
bitr3i |
|- ( x A y <-> <. y , x >. e. `' A ) |
11 |
7 6
|
brco |
|- ( x ( B o. C ) y <-> E. z ( x C z /\ z B y ) ) |
12 |
6 7
|
brcnv |
|- ( y `' ( B o. C ) x <-> x ( B o. C ) y ) |
13 |
|
df-br |
|- ( y `' ( B o. C ) x <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) |
14 |
12 13
|
bitr3i |
|- ( x ( B o. C ) y <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) |
15 |
11 14
|
bitr3i |
|- ( E. z ( x C z /\ z B y ) <-> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) |
16 |
10 15
|
imbi12i |
|- ( ( x A y -> E. z ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) |
17 |
5 16
|
bitri |
|- ( E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) |
18 |
17
|
2albii |
|- ( A. x A. y E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) <-> A. x A. y ( <. y , x >. e. `' A -> <. y , x >. e. `' ( B o. C ) ) ) |
19 |
1 4 18
|
3bitr4i |
|- ( `' A C_ `' ( B o. C ) <-> A. x A. y E. z ( x A y -> ( x C z /\ z B y ) ) ) |