Metamath Proof Explorer

Theorem congadd

Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014)

Ref Expression
Assertion congadd 
|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) ) -> A || ( ( B + D ) - ( C + E ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl1 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
2 zsubcl 
 |-  ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B - C ) e. ZZ )
3 2 3adant1 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B - C ) e. ZZ )
4 3 adantr 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> ( B - C ) e. ZZ )
5 zsubcl 
 |-  ( ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) -> ( D - E ) e. ZZ )
6 5 adantl 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> ( D - E ) e. ZZ )
7 dvds2add 
 |-  ( ( A e. ZZ /\ ( B - C ) e. ZZ /\ ( D - E ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) -> A || ( ( B - C ) + ( D - E ) ) ) )
8 1 4 6 7 syl3anc 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) -> A || ( ( B - C ) + ( D - E ) ) ) )
9 8 3impia 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) ) -> A || ( ( B - C ) + ( D - E ) ) )
10 simpl2 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
11 10 zcnd 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> B e. CC )
12 zcn 
 |-  ( D e. ZZ -> D e. CC )
13 12 ad2antrl 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> D e. CC )
14 simpl3 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
15 14 zcnd 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> C e. CC )
16 zcn 
 |-  ( E e. ZZ -> E e. CC )
17 16 ad2antll 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> E e. CC )
18 11 13 15 17 addsub4d 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) ) -> ( ( B + D ) - ( C + E ) ) = ( ( B - C ) + ( D - E ) ) )
19 18 3adant3 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) ) -> ( ( B + D ) - ( C + E ) ) = ( ( B - C ) + ( D - E ) ) )
20 9 19 breqtrrd 
 |-  ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ E e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( D - E ) ) ) -> A || ( ( B + D ) - ( C + E ) ) )