Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brprop.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
brprop.b |
|- ( ph -> B e. W ) |
3 |
|
brprop.c |
|- ( ph -> C e. V ) |
4 |
|
brprop.d |
|- ( ph -> D e. W ) |
5 |
|
mptprop.1 |
|- ( ph -> A =/= C ) |
6 |
|
coprprop.e |
|- ( ph -> E e. X ) |
7 |
|
coprprop.f |
|- ( ph -> F e. X ) |
8 |
|
coprprop.1 |
|- ( ph -> E =/= F ) |
9 |
|
coundir |
|- ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. E , A >. } ) = ( ( { <. A , B >. } o. { <. E , A >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. E , A >. } ) ) |
10 |
1 2 6
|
cosnop |
|- ( ph -> ( { <. A , B >. } o. { <. E , A >. } ) = { <. E , B >. } ) |
11 |
5
|
necomd |
|- ( ph -> C =/= A ) |
12 |
4 6 11
|
cosnopne |
|- ( ph -> ( { <. C , D >. } o. { <. E , A >. } ) = (/) ) |
13 |
10 12
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } o. { <. E , A >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. E , A >. } ) ) = ( { <. E , B >. } u. (/) ) ) |
14 |
|
un0 |
|- ( { <. E , B >. } u. (/) ) = { <. E , B >. } |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } o. { <. E , A >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. E , A >. } ) ) = { <. E , B >. } ) |
16 |
9 15
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. E , A >. } ) = { <. E , B >. } ) |
17 |
|
coundir |
|- ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. F , C >. } ) = ( ( { <. A , B >. } o. { <. F , C >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. F , C >. } ) ) |
18 |
2 7 5
|
cosnopne |
|- ( ph -> ( { <. A , B >. } o. { <. F , C >. } ) = (/) ) |
19 |
3 4 7
|
cosnop |
|- ( ph -> ( { <. C , D >. } o. { <. F , C >. } ) = { <. F , D >. } ) |
20 |
18 19
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } o. { <. F , C >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. F , C >. } ) ) = ( (/) u. { <. F , D >. } ) ) |
21 |
|
0un |
|- ( (/) u. { <. F , D >. } ) = { <. F , D >. } |
22 |
20 21
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } o. { <. F , C >. } ) u. ( { <. C , D >. } o. { <. F , C >. } ) ) = { <. F , D >. } ) |
23 |
17 22
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. F , C >. } ) = { <. F , D >. } ) |
24 |
16 23
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. E , A >. } ) u. ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. F , C >. } ) ) = ( { <. E , B >. } u. { <. F , D >. } ) ) |
25 |
|
df-pr |
|- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) |
26 |
|
df-pr |
|- { <. E , A >. , <. F , C >. } = ( { <. E , A >. } u. { <. F , C >. } ) |
27 |
25 26
|
coeq12i |
|- ( { <. A , B >. , <. C , D >. } o. { <. E , A >. , <. F , C >. } ) = ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. ( { <. E , A >. } u. { <. F , C >. } ) ) |
28 |
|
coundi |
|- ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. ( { <. E , A >. } u. { <. F , C >. } ) ) = ( ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. E , A >. } ) u. ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. F , C >. } ) ) |
29 |
27 28
|
eqtri |
|- ( { <. A , B >. , <. C , D >. } o. { <. E , A >. , <. F , C >. } ) = ( ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. E , A >. } ) u. ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) o. { <. F , C >. } ) ) |
30 |
|
df-pr |
|- { <. E , B >. , <. F , D >. } = ( { <. E , B >. } u. { <. F , D >. } ) |
31 |
24 29 30
|
3eqtr4g |
|- ( ph -> ( { <. A , B >. , <. C , D >. } o. { <. E , A >. , <. F , C >. } ) = { <. E , B >. , <. F , D >. } ) |