Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brprop.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
brprop.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊 ) |
3 |
|
brprop.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉 ) |
4 |
|
brprop.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊 ) |
5 |
|
mptprop.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶 ) |
6 |
|
coprprop.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑋 ) |
7 |
|
coprprop.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑋 ) |
8 |
|
coprprop.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐹 ) |
9 |
|
coundir |
⊢ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) = ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ) |
10 |
1 2 6
|
cosnop |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) = { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ) |
11 |
5
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴 ) |
12 |
4 6 11
|
cosnopne |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) = ∅ ) |
13 |
10 12
|
uneq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ) = ( { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ∪ ∅ ) ) |
14 |
|
un0 |
⊢ ( { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ∪ ∅ ) = { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } |
15 |
13 14
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ) = { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ) |
16 |
9 15
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) = { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ) |
17 |
|
coundir |
⊢ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) |
18 |
2 7 5
|
cosnopne |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = ∅ ) |
19 |
3 4 7
|
cosnop |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) |
20 |
18 19
|
uneq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) = ( ∅ ∪ { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) ) |
21 |
|
0un |
⊢ ( ∅ ∪ { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) = { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } |
22 |
20 21
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ∪ ( { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) = { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) |
23 |
17 22
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) |
24 |
16 23
|
uneq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) = ( { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) ) |
25 |
|
df-pr |
⊢ { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } = ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) |
26 |
|
df-pr |
⊢ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 , 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } = ( { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ∪ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) |
27 |
25 26
|
coeq12i |
⊢ ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 , 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ ( { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ∪ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) |
28 |
|
coundi |
⊢ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ ( { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ∪ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) = ( ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) |
29 |
27 28
|
eqtri |
⊢ ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 , 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = ( ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 } ) ∪ ( ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ) ∘ { 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) ) |
30 |
|
df-pr |
⊢ { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 , 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } = ( { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 } ∪ { 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) |
31 |
24 29 30
|
3eqtr4g |
⊢ ( 𝜑 → ( { 〈 𝐴 , 𝐵 〉 , 〈 𝐶 , 𝐷 〉 } ∘ { 〈 𝐸 , 𝐴 〉 , 〈 𝐹 , 𝐶 〉 } ) = { 〈 𝐸 , 𝐵 〉 , 〈 𝐹 , 𝐷 〉 } ) |