Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cvlcvrp.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cvlcvrp.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cvlcvrp.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cvlcvrp.z |
|- .0. = ( 0. ` K ) |
5 |
|
cvlcvrp.c |
|- C = ( |
6 |
|
cvlcvrp.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
simp13 |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> K e. CvLat ) |
8 |
|
cvllat |
|- ( K e. CvLat -> K e. Lat ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> K e. Lat ) |
10 |
|
simp2 |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> X e. B ) |
11 |
1 6
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. B ) |
12 |
11
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> P e. B ) |
13 |
1 3
|
latmcom |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ P e. B ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) ) |
14 |
9 10 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> ( X ./\ P ) = ( P ./\ X ) ) |
15 |
14
|
eqeq1d |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> ( ( X ./\ P ) = .0. <-> ( P ./\ X ) = .0. ) ) |
16 |
|
cvlatl |
|- ( K e. CvLat -> K e. AtLat ) |
17 |
7 16
|
syl |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> K e. AtLat ) |
18 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> P e. A ) |
19 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
20 |
1 19 3 4 6
|
atnle |
|- ( ( K e. AtLat /\ P e. A /\ X e. B ) -> ( -. P ( le ` K ) X <-> ( P ./\ X ) = .0. ) ) |
21 |
17 18 10 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) X <-> ( P ./\ X ) = .0. ) ) |
22 |
1 19 2 5 6
|
cvlcvr1 |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> ( -. P ( le ` K ) X <-> X C ( X .\/ P ) ) ) |
23 |
15 21 22
|
3bitr2d |
|- ( ( ( K e. OML /\ K e. CLat /\ K e. CvLat ) /\ X e. B /\ P e. A ) -> ( ( X ./\ P ) = .0. <-> X C ( X .\/ P ) ) ) |