Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
deg1leb.d |
|- D = ( deg1 ` R ) |
2 |
|
deg1leb.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
3 |
|
deg1leb.b |
|- B = ( Base ` P ) |
4 |
|
deg1leb.y |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
5 |
|
deg1leb.a |
|- A = ( coe1 ` F ) |
6 |
1
|
deg1fval |
|- D = ( 1o mDeg R ) |
7 |
|
eqid |
|- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R ) |
8 |
|
eqid |
|- ( PwSer1 ` R ) = ( PwSer1 ` R ) |
9 |
2 8 3
|
ply1bas |
|- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) |
10 |
|
psr1baslem |
|- ( NN0 ^m 1o ) = { a e. ( NN0 ^m 1o ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |
11 |
|
tdeglem2 |
|- ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( CCfld gsum b ) ) |
12 |
6 7 9 4 10 11
|
mdegleb |
|- ( ( F e. B /\ G e. RR* ) -> ( ( D ` F ) <_ G <-> A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( F ` y ) = .0. ) ) ) |
13 |
|
df1o2 |
|- 1o = { (/) } |
14 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
15 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
16 |
|
eqid |
|- ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) = ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) |
17 |
13 14 15 16
|
mapsnf1o2 |
|- ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-onto-> NN0 |
18 |
|
f1ofo |
|- ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -1-1-onto-> NN0 -> ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -onto-> NN0 ) |
19 |
|
breq2 |
|- ( ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) = x -> ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) <-> G < x ) ) |
20 |
|
fveqeq2 |
|- ( ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) = x -> ( ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. <-> ( A ` x ) = .0. ) ) |
21 |
19 20
|
imbi12d |
|- ( ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) = x -> ( ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. ) <-> ( G < x -> ( A ` x ) = .0. ) ) ) |
22 |
21
|
cbvfo |
|- ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) : ( NN0 ^m 1o ) -onto-> NN0 -> ( A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. ) <-> A. x e. NN0 ( G < x -> ( A ` x ) = .0. ) ) ) |
23 |
17 18 22
|
mp2b |
|- ( A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. ) <-> A. x e. NN0 ( G < x -> ( A ` x ) = .0. ) ) |
24 |
|
fveq1 |
|- ( b = y -> ( b ` (/) ) = ( y ` (/) ) ) |
25 |
|
fvex |
|- ( y ` (/) ) e. _V |
26 |
24 16 25
|
fvmpt |
|- ( y e. ( NN0 ^m 1o ) -> ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) = ( y ` (/) ) ) |
27 |
26
|
fveq2d |
|- ( y e. ( NN0 ^m 1o ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = ( A ` ( y ` (/) ) ) ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ( F e. B /\ G e. RR* ) /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = ( A ` ( y ` (/) ) ) ) |
29 |
5
|
fvcoe1 |
|- ( ( F e. B /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F ` y ) = ( A ` ( y ` (/) ) ) ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( F e. B /\ G e. RR* ) /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( F ` y ) = ( A ` ( y ` (/) ) ) ) |
31 |
28 30
|
eqtr4d |
|- ( ( ( F e. B /\ G e. RR* ) /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = ( F ` y ) ) |
32 |
31
|
eqeq1d |
|- ( ( ( F e. B /\ G e. RR* ) /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. <-> ( F ` y ) = .0. ) ) |
33 |
32
|
imbi2d |
|- ( ( ( F e. B /\ G e. RR* ) /\ y e. ( NN0 ^m 1o ) ) -> ( ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. ) <-> ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( F ` y ) = .0. ) ) ) |
34 |
33
|
ralbidva |
|- ( ( F e. B /\ G e. RR* ) -> ( A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( A ` ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) ) = .0. ) <-> A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( F ` y ) = .0. ) ) ) |
35 |
23 34
|
bitr3id |
|- ( ( F e. B /\ G e. RR* ) -> ( A. x e. NN0 ( G < x -> ( A ` x ) = .0. ) <-> A. y e. ( NN0 ^m 1o ) ( G < ( ( b e. ( NN0 ^m 1o ) |-> ( b ` (/) ) ) ` y ) -> ( F ` y ) = .0. ) ) ) |
36 |
12 35
|
bitr4d |
|- ( ( F e. B /\ G e. RR* ) -> ( ( D ` F ) <_ G <-> A. x e. NN0 ( G < x -> ( A ` x ) = .0. ) ) ) |