Metamath Proof Explorer


Theorem dfiota3

Description: A definition of iota using minimal quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013)

Ref Expression
Assertion dfiota3
|- ( iota x ph ) = U. U. ( { { x | ph } } i^i Singletons )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-iota
 |-  ( iota x ph ) = U. { y | { x | ph } = { y } }
2 abeq1
 |-  ( { y | { x | ph } = { y } } = U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) } <-> A. y ( { x | ph } = { y } <-> y e. U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) } ) )
3 exdistr
 |-  ( E. z E. w ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) <-> E. z ( y e. z /\ E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
4 vex
 |-  y e. _V
5 sneq
 |-  ( w = y -> { w } = { y } )
6 5 eqeq2d
 |-  ( w = y -> ( { x | ph } = { w } <-> { x | ph } = { y } ) )
7 4 6 ceqsexv
 |-  ( E. w ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) <-> { x | ph } = { y } )
8 snex
 |-  { w } e. _V
9 eqeq1
 |-  ( z = { w } -> ( z = { x | ph } <-> { w } = { x | ph } ) )
10 eleq2
 |-  ( z = { w } -> ( y e. z <-> y e. { w } ) )
11 9 10 anbi12d
 |-  ( z = { w } -> ( ( z = { x | ph } /\ y e. z ) <-> ( { w } = { x | ph } /\ y e. { w } ) ) )
12 eqcom
 |-  ( { w } = { x | ph } <-> { x | ph } = { w } )
13 velsn
 |-  ( y e. { w } <-> y = w )
14 equcom
 |-  ( y = w <-> w = y )
15 13 14 bitri
 |-  ( y e. { w } <-> w = y )
16 12 15 anbi12ci
 |-  ( ( { w } = { x | ph } /\ y e. { w } ) <-> ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) )
17 11 16 bitrdi
 |-  ( z = { w } -> ( ( z = { x | ph } /\ y e. z ) <-> ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) ) )
18 8 17 ceqsexv
 |-  ( E. z ( z = { w } /\ ( z = { x | ph } /\ y e. z ) ) <-> ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) )
19 an13
 |-  ( ( z = { w } /\ ( z = { x | ph } /\ y e. z ) ) <-> ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
20 19 exbii
 |-  ( E. z ( z = { w } /\ ( z = { x | ph } /\ y e. z ) ) <-> E. z ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
21 18 20 bitr3i
 |-  ( ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) <-> E. z ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
22 21 exbii
 |-  ( E. w ( w = y /\ { x | ph } = { w } ) <-> E. w E. z ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
23 7 22 bitr3i
 |-  ( { x | ph } = { y } <-> E. w E. z ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
24 excom
 |-  ( E. w E. z ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) <-> E. z E. w ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
25 23 24 bitri
 |-  ( { x | ph } = { y } <-> E. z E. w ( y e. z /\ ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
26 eluniab
 |-  ( y e. U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) } <-> E. z ( y e. z /\ E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) ) )
27 3 25 26 3bitr4i
 |-  ( { x | ph } = { y } <-> y e. U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) } )
28 2 27 mpgbir
 |-  { y | { x | ph } = { y } } = U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) }
29 df-sn
 |-  { { x | ph } } = { z | z = { x | ph } }
30 dfsingles2
 |-  Singletons = { z | E. w z = { w } }
31 29 30 ineq12i
 |-  ( { { x | ph } } i^i Singletons ) = ( { z | z = { x | ph } } i^i { z | E. w z = { w } } )
32 inab
 |-  ( { z | z = { x | ph } } i^i { z | E. w z = { w } } ) = { z | ( z = { x | ph } /\ E. w z = { w } ) }
33 19.42v
 |-  ( E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) <-> ( z = { x | ph } /\ E. w z = { w } ) )
34 33 bicomi
 |-  ( ( z = { x | ph } /\ E. w z = { w } ) <-> E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) )
35 34 abbii
 |-  { z | ( z = { x | ph } /\ E. w z = { w } ) } = { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) }
36 32 35 eqtri
 |-  ( { z | z = { x | ph } } i^i { z | E. w z = { w } } ) = { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) }
37 31 36 eqtri
 |-  ( { { x | ph } } i^i Singletons ) = { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) }
38 37 unieqi
 |-  U. ( { { x | ph } } i^i Singletons ) = U. { z | E. w ( z = { x | ph } /\ z = { w } ) }
39 28 38 eqtr4i
 |-  { y | { x | ph } = { y } } = U. ( { { x | ph } } i^i Singletons )
40 39 unieqi
 |-  U. { y | { x | ph } = { y } } = U. U. ( { { x | ph } } i^i Singletons )
41 1 40 eqtri
 |-  ( iota x ph ) = U. U. ( { { x | ph } } i^i Singletons )