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Theorem dibord

Description: The isomorphism B for a lattice K is order-preserving in the region under co-atom W . (Contributed by NM, 24-Feb-2014)

Ref Expression
Hypotheses dib11.b 
|- B = ( Base ` K )
dib11.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dib11.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dib11.i 
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
Assertion dibord 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dib11.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dib11.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dib11.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dib11.i 
 |-  I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
5 eqid 
 |-  ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 eqid 
 |-  ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) = ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) )
7 eqid 
 |-  ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8 1 2 3 5 6 7 4 dibval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) )
9 8 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) )
10 1 2 3 5 6 7 4 dibval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) )
11 10 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) )
12 9 11 sseq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) C_ ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) ) )
13 1 2 3 4 dibn0 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) ) -> ( I ` X ) =/= (/) )
14 13 3adant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( I ` X ) =/= (/) )
15 9 14 eqnetrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) =/= (/) )
16 ssxpb 
 |-  ( ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) =/= (/) -> ( ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) C_ ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) <-> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } C_ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) ) )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) C_ ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) X. { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) <-> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } C_ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) ) )
18 ssid 
 |-  { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } C_ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) }
19 18 biantru 
 |-  ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) <-> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } C_ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) )
20 1 2 3 7 diaord 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) <-> X .<_ Y ) )
21 19 20 bitr3id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` Y ) /\ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } C_ { ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` B ) ) } ) <-> X .<_ Y ) )
22 12 17 21 3bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) )