Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dib11.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dib11.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dib11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dib11.i |
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
5 |
|
eqss |
|- ( ( I ` X ) = ( I ` Y ) <-> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) ) |
6 |
1 2 3 4
|
dibord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
7 |
1 2 3 4
|
dibord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) <-> Y .<_ X ) ) |
8 |
7
|
3com23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) <-> Y .<_ X ) ) |
9 |
6 8
|
anbi12d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) ) ) |
10 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> K e. HL ) |
11 |
10
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> K e. Lat ) |
12 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> X e. B ) |
13 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
14 |
1 2
|
latasymb |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) ) |
15 |
11 12 13 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) ) |
16 |
9 15
|
bitrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) <-> X = Y ) ) |
17 |
5 16
|
syl5bb |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) = ( I ` Y ) <-> X = Y ) ) |