Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluni |
|- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) ) |
2 |
|
eluni |
|- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) |
3 |
2
|
notbii |
|- ( -. x e. U. B <-> -. E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) |
4 |
|
alinexa |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) <-> -. E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) |
5 |
|
nfa1 |
|- F/ y A. y ( x e. y -> -. y e. B ) |
6 |
|
sp |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) -> ( x e. y -> -. y e. B ) ) |
7 |
6
|
adantrd |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> -. y e. B ) ) |
8 |
7
|
ancld |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) ) ) |
9 |
|
anass |
|- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
10 |
8 9
|
syl6ib |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) ) |
11 |
5 10
|
eximd |
|- ( A. y ( x e. y -> -. y e. B ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) ) |
12 |
4 11
|
sylbir |
|- ( -. E. y ( x e. y /\ y e. B ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) -> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) ) |
13 |
12
|
impcom |
|- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) -> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
14 |
1 3 13
|
syl2anb |
|- ( ( x e. U. A /\ -. x e. U. B ) -> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
15 |
|
eldif |
|- ( x e. ( U. A \ U. B ) <-> ( x e. U. A /\ -. x e. U. B ) ) |
16 |
|
eluni |
|- ( x e. U. ( A \ B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ B ) ) ) |
17 |
|
eldif |
|- ( y e. ( A \ B ) <-> ( y e. A /\ -. y e. B ) ) |
18 |
17
|
anbi2i |
|- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
19 |
18
|
exbii |
|- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ B ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
20 |
16 19
|
bitri |
|- ( x e. U. ( A \ B ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y e. B ) ) ) |
21 |
14 15 20
|
3imtr4i |
|- ( x e. ( U. A \ U. B ) -> x e. U. ( A \ B ) ) |
22 |
21
|
ssriv |
|- ( U. A \ U. B ) C_ U. ( A \ B ) |