Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reldisj |
|- ( A C_ U. B -> ( ( A i^i U. C ) = (/) <-> A C_ ( U. B \ U. C ) ) ) |
2 |
|
difunieq |
|- ( U. B \ U. C ) C_ U. ( B \ C ) |
3 |
|
sstr |
|- ( ( A C_ ( U. B \ U. C ) /\ ( U. B \ U. C ) C_ U. ( B \ C ) ) -> A C_ U. ( B \ C ) ) |
4 |
2 3
|
mpan2 |
|- ( A C_ ( U. B \ U. C ) -> A C_ U. ( B \ C ) ) |
5 |
1 4
|
syl6bi |
|- ( A C_ U. B -> ( ( A i^i U. C ) = (/) -> A C_ U. ( B \ C ) ) ) |
6 |
5
|
com12 |
|- ( ( A i^i U. C ) = (/) -> ( A C_ U. B -> A C_ U. ( B \ C ) ) ) |
7 |
|
difss |
|- ( B \ C ) C_ B |
8 |
7
|
unissi |
|- U. ( B \ C ) C_ U. B |
9 |
|
sstr |
|- ( ( A C_ U. ( B \ C ) /\ U. ( B \ C ) C_ U. B ) -> A C_ U. B ) |
10 |
8 9
|
mpan2 |
|- ( A C_ U. ( B \ C ) -> A C_ U. B ) |
11 |
6 10
|
impbid1 |
|- ( ( A i^i U. C ) = (/) -> ( A C_ U. B <-> A C_ U. ( B \ C ) ) ) |