Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dih11.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dih11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
dih11.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
4 |
|
eqss |
|- ( ( I ` X ) = ( I ` Y ) <-> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) ) |
5 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
6 |
1 5 2 3
|
dihord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X ( le ` K ) Y ) ) |
7 |
1 5 2 3
|
dihord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) <-> Y ( le ` K ) X ) ) |
8 |
7
|
3com23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) <-> Y ( le ` K ) X ) ) |
9 |
6 8
|
anbi12d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) <-> ( X ( le ` K ) Y /\ Y ( le ` K ) X ) ) ) |
10 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. HL ) |
11 |
10
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat ) |
12 |
1 5
|
latasymb |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( le ` K ) Y /\ Y ( le ` K ) X ) <-> X = Y ) ) |
13 |
11 12
|
syld3an1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( le ` K ) Y /\ Y ( le ` K ) X ) <-> X = Y ) ) |
14 |
9 13
|
bitrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) /\ ( I ` Y ) C_ ( I ` X ) ) <-> X = Y ) ) |
15 |
4 14
|
syl5bb |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` X ) = ( I ` Y ) <-> X = Y ) ) |