Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihord.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihord.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihord.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihord.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
5 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> X e. B ) |
7 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> X .<_ W ) |
8 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
9 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> Y .<_ W ) |
10 |
1 2 3 4
|
dihord3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
11 |
5 6 7 8 9 10
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
12 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
13 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> X e. B ) |
14 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> X .<_ W ) |
15 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
16 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> -. Y .<_ W ) |
17 |
1 2 3 4
|
dihord5a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) -> X .<_ Y ) |
18 |
1 2 3 4
|
dihord5b |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) |
19 |
17 18
|
impbida |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
20 |
12 13 14 15 16 19
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
21 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
22 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> X e. B ) |
23 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> -. X .<_ W ) |
24 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
25 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> Y .<_ W ) |
26 |
1 2 3 4
|
dihord6a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) -> X .<_ Y ) |
27 |
1 2 3 4
|
dihord6b |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) |
28 |
26 27
|
impbida |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
29 |
21 22 23 24 25 28
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
30 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
31 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> X e. B ) |
32 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> -. X .<_ W ) |
33 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> Y e. B ) |
34 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> -. Y .<_ W ) |
35 |
1 2 3 4
|
dihord4 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
36 |
30 31 32 33 34 35
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. X .<_ W /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
37 |
11 20 29 36
|
4casesdan |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |