Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihord3.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihord3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihord3.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihord3.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
5 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( join ` K ) = ( join ` K ) |
8 |
|
eqid |
|- ( meet ` K ) = ( meet ` K ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
10 |
1 2 7 8 9 3
|
lhpmcvr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) |
11 |
5 6 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) |
12 |
|
simp1r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> X .<_ Y ) |
13 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> X .<_ W ) |
14 |
13
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> X .<_ W ) |
15 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> K e. HL ) |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> K e. HL ) |
17 |
16
|
hllatd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> K e. Lat ) |
18 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B ) |
19 |
18
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> X e. B ) |
20 |
|
simpl3l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> Y e. B ) |
21 |
20
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> Y e. B ) |
22 |
|
simpl1r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> W e. H ) |
23 |
22
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> W e. H ) |
24 |
1 3
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> W e. B ) |
26 |
1 2 8
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ X .<_ W ) <-> X .<_ ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) |
27 |
17 19 21 25 26
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( X .<_ Y /\ X .<_ W ) <-> X .<_ ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) |
28 |
12 14 27
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> X .<_ ( Y ( meet ` K ) W ) ) |
29 |
|
simp1l1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
30 |
|
simp1l2 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( X e. B /\ X .<_ W ) ) |
31 |
1 8
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ( meet ` K ) W ) e. B ) |
32 |
17 21 25 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( Y ( meet ` K ) W ) e. B ) |
33 |
1 2 8
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ( meet ` K ) W ) .<_ W ) |
34 |
17 21 25 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( Y ( meet ` K ) W ) .<_ W ) |
35 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
36 |
1 2 3 35
|
dibord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( ( Y ( meet ` K ) W ) e. B /\ ( Y ( meet ` K ) W ) .<_ W ) ) -> ( ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) <-> X .<_ ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) |
37 |
29 30 32 34 36
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) <-> X .<_ ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) |
38 |
28 37
|
mpbird |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) |
39 |
|
eqid |
|- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
40 |
3 39 29
|
dvhlmod |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( DVecH ` K ) ` W ) e. LMod ) |
41 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) |
42 |
41
|
lsssssubg |
|- ( ( ( DVecH ` K ) ` W ) e. LMod -> ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) C_ ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
43 |
40 42
|
syl |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) C_ ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
44 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) |
45 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoC ` K ) ` W ) = ( ( DIsoC ` K ) ` W ) |
46 |
2 9 3 39 45 41
|
diclss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
47 |
29 44 46
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
48 |
43 47
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) e. ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
49 |
1 2 3 39 35 41
|
diblss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Y ( meet ` K ) W ) e. B /\ ( Y ( meet ` K ) W ) .<_ W ) ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
50 |
29 32 34 49
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
51 |
43 50
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) e. ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) |
52 |
|
eqid |
|- ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) |
53 |
52
|
lsmub2 |
|- ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) e. ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) /\ ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) e. ( SubGrp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
54 |
48 51 53
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
55 |
38 54
|
sstrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
56 |
1 2 3 4 35
|
dihvalb |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) ) |
57 |
29 30 56
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( I ` X ) = ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` X ) ) |
58 |
|
simp1l3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) |
59 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) |
60 |
1 2 7 8 9 3 4 35 45 39 52
|
dihvalcq |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
61 |
29 58 44 59 60
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
62 |
55 57 61
|
3sstr4d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) |
63 |
62
|
3exp |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) -> ( ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) ) ) |
64 |
63
|
expd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) -> ( -. r .<_ W -> ( ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
imp4a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) -> ( ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) ) ) |
66 |
65
|
rexlimdv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) ) |
67 |
11 66
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) |