Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihord3.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihord3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihord3.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihord3.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
5 |
|
eqid |
|- ( join ` K ) = ( join ` K ) |
6 |
|
eqid |
|- ( meet ` K ) = ( meet ` K ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
8 |
1 2 5 6 7 3
|
lhpmcvr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. q e. ( Atoms ` K ) ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) |
9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> E. q e. ( Atoms ` K ) ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) |
10 |
1 2 5 6 7 3
|
lhpmcvr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) |
11 |
10
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) |
12 |
|
reeanv |
|- ( E. q e. ( Atoms ` K ) E. r e. ( Atoms ` K ) ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) <-> ( E. q e. ( Atoms ` K ) ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ E. r e. ( Atoms ` K ) ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) |
13 |
9 11 12
|
sylanbrc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> E. q e. ( Atoms ` K ) E. r e. ( Atoms ` K ) ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) |
14 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
15 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) |
16 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) ) |
17 |
|
simp3ll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> -. q .<_ W ) |
18 |
16 17
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) ) |
19 |
|
simp3lr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) |
20 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoB ` K ) ` W ) = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
21 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoC ` K ) ` W ) = ( ( DIsoC ` K ) ` W ) |
22 |
|
eqid |
|- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
23 |
|
eqid |
|- ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) |
24 |
1 2 5 6 7 3 4 20 21 22 23
|
dihvalcq |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
25 |
14 15 18 19 24
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( I ` X ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
26 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) |
27 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) ) |
28 |
|
simp3rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> -. r .<_ W ) |
29 |
27 28
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) |
30 |
|
simp3rr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) |
31 |
1 2 5 6 7 3 4 20 21 22 23
|
dihvalcq |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) /\ ( ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
32 |
14 26 29 30 31
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( I ` Y ) = ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
33 |
25 32
|
sseq12d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) ) |
34 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
35 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) ) |
36 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> -. q .<_ W ) |
37 |
35 36
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) ) |
38 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) ) |
39 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> -. r .<_ W ) |
40 |
38 39
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) |
41 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> X e. B ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> X e. B ) |
43 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> Y e. B ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> Y e. B ) |
45 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) |
46 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) |
47 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
48 |
1 2 5 6 7 3 20 21 22 23
|
dihord2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) ) -> X .<_ Y ) |
49 |
34 37 40 42 44 45 46 47 48
|
syl323anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) -> X .<_ Y ) |
50 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
51 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> q e. ( Atoms ` K ) ) |
52 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> -. q .<_ W ) |
53 |
51 52
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) ) |
54 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> r e. ( Atoms ` K ) ) |
55 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> -. r .<_ W ) |
56 |
54 55
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) |
57 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B ) |
58 |
43
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> Y e. B ) |
59 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) |
60 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) |
61 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> X .<_ Y ) |
62 |
1 2 5 6 7 3 20 21 22 23
|
dihord1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ -. q .<_ W ) /\ ( r e. ( Atoms ` K ) /\ -. r .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
63 |
50 53 56 57 58 59 60 61 62
|
syl323anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) ) |
64 |
49 63
|
impbida |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` q ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( X ( meet ` K ) W ) ) ) C_ ( ( ( ( DIsoC ` K ) ` W ) ` r ) ( LSSum ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ( ( ( DIsoB ` K ) ` W ) ` ( Y ( meet ` K ) W ) ) ) <-> X .<_ Y ) ) |
65 |
33 64
|
bitrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) /\ ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |
66 |
65
|
3exp |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) ) ) |
67 |
66
|
rexlimdvv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( E. q e. ( Atoms ` K ) E. r e. ( Atoms ` K ) ( ( -. q .<_ W /\ ( q ( join ` K ) ( X ( meet ` K ) W ) ) = X ) /\ ( -. r .<_ W /\ ( r ( join ` K ) ( Y ( meet ` K ) W ) ) = Y ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) ) |
68 |
13 67
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ -. Y .<_ W ) ) -> ( ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) <-> X .<_ Y ) ) |