Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
disjxp1.1 |
|- ( ph -> Disj_ x e. A B ) |
2 |
|
animorrl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y = z ) -> ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) ) |
3 |
|
csbxp |
|- [_ y / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ y / x ]_ B X. [_ y / x ]_ C ) |
4 |
|
csbxp |
|- [_ z / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ z / x ]_ B X. [_ z / x ]_ C ) |
5 |
3 4
|
ineq12i |
|- ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = ( ( [_ y / x ]_ B X. [_ y / x ]_ C ) i^i ( [_ z / x ]_ B X. [_ z / x ]_ C ) ) |
6 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ph ) |
7 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> y e. A ) |
8 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> z e. A ) |
9 |
6 7 8
|
jca31 |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( ph /\ y e. A ) /\ z e. A ) ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> y =/= z ) |
11 |
10
|
neneqd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> -. y = z ) |
12 |
|
disjors |
|- ( Disj_ x e. A B <-> A. y e. A A. z e. A ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) ) |
13 |
1 12
|
sylib |
|- ( ph -> A. y e. A A. z e. A ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) ) |
14 |
13
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ y e. A ) -> A. z e. A ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) ) |
15 |
14
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) ) |
16 |
15
|
ord |
|- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ z e. A ) -> ( -. y = z -> ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) ) |
17 |
9 11 16
|
sylc |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) ) |
18 |
|
xpdisj1 |
|- ( ( [_ y / x ]_ B i^i [_ z / x ]_ B ) = (/) -> ( ( [_ y / x ]_ B X. [_ y / x ]_ C ) i^i ( [_ z / x ]_ B X. [_ z / x ]_ C ) ) = (/) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( [_ y / x ]_ B X. [_ y / x ]_ C ) i^i ( [_ z / x ]_ B X. [_ z / x ]_ C ) ) = (/) ) |
20 |
5 19
|
syl5eq |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) |
21 |
20
|
olcd |
|- ( ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) /\ y =/= z ) -> ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) ) |
22 |
2 21
|
pm2.61dane |
|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) ) |
23 |
22
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. y e. A A. z e. A ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) ) |
24 |
|
disjors |
|- ( Disj_ x e. A ( B X. C ) <-> A. y e. A A. z e. A ( y = z \/ ( [_ y / x ]_ ( B X. C ) i^i [_ z / x ]_ ( B X. C ) ) = (/) ) ) |
25 |
23 24
|
sylibr |
|- ( ph -> Disj_ x e. A ( B X. C ) ) |