Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
djaval.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
elex |
|- ( K e. V -> K e. _V ) |
3 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) ) |
4 |
3 1
|
eqtr4di |
|- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( LTrn ` k ) = ( LTrn ` K ) ) |
6 |
5
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( LTrn ` k ) ` w ) = ( ( LTrn ` K ) ` w ) ) |
7 |
6
|
pweqd |
|- ( k = K -> ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) = ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) ) |
8 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( ocA ` k ) = ( ocA ` K ) ) |
9 |
8
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( ocA ` k ) ` w ) = ( ( ocA ` K ) ` w ) ) |
10 |
9
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) = ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) ) |
11 |
9
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) = ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) |
12 |
10 11
|
ineq12d |
|- ( k = K -> ( ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) ) = ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) |
13 |
9 12
|
fveq12d |
|- ( k = K -> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) ) ) = ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) |
14 |
7 7 13
|
mpoeq123dv |
|- ( k = K -> ( x e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) = ( x e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) |
15 |
4 14
|
mpteq12dv |
|- ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) ) |
16 |
|
df-djaN |
|- vA = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` k ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) ) |
17 |
15 16 1
|
mptfvmpt |
|- ( K e. _V -> ( vA ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) ) |
18 |
2 17
|
syl |
|- ( K e. V -> ( vA ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) , y e. ~P ( ( LTrn ` K ) ` w ) |-> ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocA ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) ) |