Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmatALTval.a |
|- A = ( N Mat R ) |
2 |
|
dmatALTval.b |
|- B = ( Base ` A ) |
3 |
|
dmatALTval.0 |
|- .0. = ( 0g ` R ) |
4 |
|
dmatALTval.d |
|- D = ( N DMatALT R ) |
5 |
1 2 3 4
|
dmatALTval |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> D = ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) |
6 |
5
|
fveq2d |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( Base ` D ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) ) |
7 |
2
|
fvexi |
|- B e. _V |
8 |
|
rabexg |
|- ( B e. _V -> { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V ) |
9 |
7 8
|
mp1i |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V ) |
10 |
|
eqid |
|- ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) = ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) |
11 |
10 2
|
ressbas |
|- ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) ) |
13 |
|
inrab2 |
|- ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } |
14 |
|
inidm |
|- ( B i^i B ) = B |
15 |
|
rabeq |
|- ( ( B i^i B ) = B -> { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) |
16 |
14 15
|
mp1i |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) |
17 |
13 16
|
syl5eq |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) |
18 |
6 12 17
|
3eqtr2d |
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( Base ` D ) = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) |