Metamath Proof Explorer


Theorem dmatALTbas

Description: The base set of the algebra of N x N diagonal matrices over a ring R , i.e. the set of all N x N diagonal matrices over the ring R . (Contributed by AV, 8-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses dmatALTval.a
|- A = ( N Mat R )
dmatALTval.b
|- B = ( Base ` A )
dmatALTval.0
|- .0. = ( 0g ` R )
dmatALTval.d
|- D = ( N DMatALT R )
Assertion dmatALTbas
|- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( Base ` D ) = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dmatALTval.a
 |-  A = ( N Mat R )
2 dmatALTval.b
 |-  B = ( Base ` A )
3 dmatALTval.0
 |-  .0. = ( 0g ` R )
4 dmatALTval.d
 |-  D = ( N DMatALT R )
5 1 2 3 4 dmatALTval
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> D = ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) )
6 5 fveq2d
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( Base ` D ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) )
7 2 fvexi
 |-  B e. _V
8 rabexg
 |-  ( B e. _V -> { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V )
9 7 8 mp1i
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V )
10 eqid
 |-  ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) = ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
11 10 2 ressbas
 |-  ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } e. _V -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) )
12 9 11 syl
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = ( Base ` ( A |`s { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } ) ) )
13 inrab2
 |-  ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) }
14 inidm
 |-  ( B i^i B ) = B
15 rabeq
 |-  ( ( B i^i B ) = B -> { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
16 14 15 mp1i
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> { m e. ( B i^i B ) | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
17 13 16 syl5eq
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } i^i B ) = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )
18 6 12 17 3eqtr2d
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( Base ` D ) = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) } )