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Theorem dochdmm1

Description: De Morgan-like law for closed subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 13-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses dochdmm1.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dochdmm1.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dochdmm1.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochdmm1.v 
|- V = ( Base ` U )
dochdmm1.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochdmm1.j 
|- .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
dochdmm1.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochdmm1.x 
|- ( ph -> X e. ran I )
dochdmm1.y 
|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion dochdmm1 
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochdmm1.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochdmm1.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3 dochdmm1.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 dochdmm1.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 dochdmm1.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
6 dochdmm1.j 
 |-  .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
7 dochdmm1.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 dochdmm1.x 
 |-  ( ph -> X e. ran I )
9 dochdmm1.y 
 |-  ( ph -> Y e. ran I )
10 1 3 2 4 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ran I ) -> X C_ V )
11 7 8 10 syl2anc 
 |-  ( ph -> X C_ V )
12 1 3 4 5 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
13 7 11 12 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
14 1 3 2 4 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> Y C_ V )
15 7 9 14 syl2anc 
 |-  ( ph -> Y C_ V )
16 1 3 4 5 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ V )
17 7 15 16 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` Y ) C_ V )
18 1 3 4 5 dochdmj1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V /\ ( ._|_ ` Y ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) i^i ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
19 7 13 17 18 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) i^i ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
20 1 2 5 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
21 7 8 20 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
22 1 2 5 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
23 7 9 22 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
24 21 23 ineq12d 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) i^i ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X i^i Y ) )
25 19 24 eqtr2d 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) )
26 25 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( X i^i Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )
27 1 3 4 5 6 djhval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V /\ ( ._|_ ` Y ) C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )
28 7 13 17 27 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) u. ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )
29 26 28 eqtr4d 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )