Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvalvec.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
dvalvec.v |
|- U = ( ( DVecA ` K ) ` W ) |
3 |
|
eqid |
|- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
eqid |
|- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
5 |
|
eqid |
|- ( ( EDRing ` K ) ` W ) = ( ( EDRing ` K ) ` W ) |
6 |
1 3 4 5 2
|
dvaset |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( ( TGrp ` K ) ` W ) = ( ( TGrp ` K ) ` W ) |
8 |
1 3 7
|
tgrpset |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( TGrp ` K ) ` W ) = { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) |
9 |
1 7
|
tgrpabl |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( TGrp ` K ) ` W ) e. Abel ) |
10 |
8 9
|
eqeltrrd |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } e. Abel ) |
11 |
|
fvex |
|- ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V |
12 |
|
eqid |
|- { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } |
13 |
12
|
grpbase |
|- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V -> ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) ) |
14 |
|
eqid |
|- ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) |
15 |
14
|
lmodbase |
|- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V -> ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) ) |
16 |
13 15
|
eqtr3d |
|- ( ( ( LTrn ` K ) ` W ) e. _V -> ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) ) |
17 |
11 16
|
ax-mp |
|- ( Base ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) |
18 |
11 11
|
mpoex |
|- ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) e. _V |
19 |
12
|
grpplusg |
|- ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) e. _V -> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) ) |
20 |
14
|
lmodplusg |
|- ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) e. _V -> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) ) |
21 |
19 20
|
eqtr3d |
|- ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) e. _V -> ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) ) |
22 |
18 21
|
ax-mp |
|- ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) ) |
23 |
17 22
|
ablprop |
|- ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. } e. Abel <-> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) e. Abel ) |
24 |
10 23
|
sylib |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( ( LTrn ` K ) ` W ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) , g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( f o. g ) ) >. , <. ( Scalar ` ndx ) , ( ( EDRing ` K ) ` W ) >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , ( s e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) , f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( s ` f ) ) >. } ) e. Abel ) |
25 |
6 24
|
eqeltrd |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. Abel ) |