Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eliccnelico.1 |
|- ( ph -> A e. RR* ) |
2 |
|
eliccnelico.b |
|- ( ph -> B e. RR* ) |
3 |
|
eliccnelico.c |
|- ( ph -> C e. ( A [,] B ) ) |
4 |
|
eliccnelico.nel |
|- ( ph -> -. C e. ( A [,) B ) ) |
5 |
|
eliccxr |
|- ( C e. ( A [,] B ) -> C e. RR* ) |
6 |
3 5
|
syl |
|- ( ph -> C e. RR* ) |
7 |
|
iccleub |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> C <_ B ) |
8 |
1 2 3 7
|
syl3anc |
|- ( ph -> C <_ B ) |
9 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> A e. RR* ) |
10 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> B e. RR* ) |
11 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> C e. RR* ) |
12 |
|
iccgelb |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. ( A [,] B ) ) -> A <_ C ) |
13 |
1 2 3 12
|
syl3anc |
|- ( ph -> A <_ C ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> A <_ C ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> -. B <_ C ) |
16 |
|
xrltnle |
|- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C < B <-> -. B <_ C ) ) |
17 |
6 2 16
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( C < B <-> -. B <_ C ) ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> ( C < B <-> -. B <_ C ) ) |
19 |
15 18
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> C < B ) |
20 |
9 10 11 14 19
|
elicod |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> C e. ( A [,) B ) ) |
21 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. B <_ C ) -> -. C e. ( A [,) B ) ) |
22 |
20 21
|
condan |
|- ( ph -> B <_ C ) |
23 |
6 2 8 22
|
xrletrid |
|- ( ph -> C = B ) |