Theorem elintfv

Description: Membership in an intersection of function values. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021)

	Ref	Expression
Hypothesis	elintfv.1	|- X e. _V
Assertion	elintfv	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elintfv.1	|- X e. _V
2	1	elint	|- ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) )
3		fvelimab	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( z e. ( F " B ) <-> E. y e. B ( F ` y ) = z ) )
4	3	imbi1d	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
5		r19.23v	|- ( A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
6	4 5	bitr4di	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
7	6	albidv	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
8		ralcom4	|- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
9		eqcom	|- ( ( F ` y ) = z <-> z = ( F ` y ) )
10	9	imbi1i	|- ( ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
11	10	albii	|- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
12		fvex	|- ( F ` y ) e. _V
13		eleq2	|- ( z = ( F ` y ) -> ( X e. z <-> X e. ( F ` y ) ) )
14	12 13	ceqsalv	|- ( A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
15	11 14	bitri	|- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
16	15	ralbii	|- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
17	8 16	bitr3i	|- ( A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
18	7 17	bitrdi	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )
19	2 18	syl5bb	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )