Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elintfv.1 |
|- X e. _V |
2 |
1
|
elint |
|- ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) ) |
3 |
|
fvelimab |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( z e. ( F " B ) <-> E. y e. B ( F ` y ) = z ) ) |
4 |
3
|
imbi1d |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) ) |
5 |
|
r19.23v |
|- ( A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) |
6 |
4 5
|
bitr4di |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) ) |
7 |
6
|
albidv |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) ) |
8 |
|
ralcom4 |
|- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) |
9 |
|
eqcom |
|- ( ( F ` y ) = z <-> z = ( F ` y ) ) |
10 |
9
|
imbi1i |
|- ( ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) ) |
11 |
10
|
albii |
|- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) ) |
12 |
|
fvex |
|- ( F ` y ) e. _V |
13 |
|
eleq2 |
|- ( z = ( F ` y ) -> ( X e. z <-> X e. ( F ` y ) ) ) |
14 |
12 13
|
ceqsalv |
|- ( A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) ) |
15 |
11 14
|
bitri |
|- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) ) |
16 |
15
|
ralbii |
|- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) |
17 |
8 16
|
bitr3i |
|- ( A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) |
18 |
7 17
|
syl6bb |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) ) |
19 |
2 18
|
syl5bb |
|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) ) |