Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fveqeq2 |
|- ( z = P -> ( ( # ` z ) = 2 <-> ( # ` P ) = 2 ) ) |
2 |
1
|
elrab |
|- ( P e. { z e. ~P V | ( # ` z ) = 2 } <-> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) ) |
3 |
|
hash2prb |
|- ( P e. ~P V -> ( ( # ` P ) = 2 <-> E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
4 |
|
elpwi |
|- ( P e. ~P V -> P C_ V ) |
5 |
|
ssrexv |
|- ( P C_ V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( P e. ~P V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
7 |
|
ssrexv |
|- ( P C_ V -> ( E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
8 |
4 7
|
syl |
|- ( P e. ~P V -> ( E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
9 |
8
|
reximdv |
|- ( P e. ~P V -> ( E. x e. V E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
10 |
6 9
|
syld |
|- ( P e. ~P V -> ( E. x e. P E. y e. P ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
11 |
3 10
|
sylbid |
|- ( P e. ~P V -> ( ( # ` P ) = 2 -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) ) |
12 |
11
|
imp |
|- ( ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) |
13 |
|
prelpwi |
|- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> { x , y } e. ~P V ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> { x , y } e. ~P V ) |
15 |
|
eleq1 |
|- ( P = { x , y } -> ( P e. ~P V <-> { x , y } e. ~P V ) ) |
16 |
15
|
ad2antll |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( P e. ~P V <-> { x , y } e. ~P V ) ) |
17 |
14 16
|
mpbird |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> P e. ~P V ) |
18 |
|
fveq2 |
|- ( P = { x , y } -> ( # ` P ) = ( # ` { x , y } ) ) |
19 |
18
|
ad2antll |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` P ) = ( # ` { x , y } ) ) |
20 |
|
hashprg |
|- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( x =/= y <-> ( # ` { x , y } ) = 2 ) ) |
21 |
20
|
biimpcd |
|- ( x =/= y -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 ) ) |
23 |
22
|
impcom |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` { x , y } ) = 2 ) |
24 |
19 23
|
eqtrd |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( # ` P ) = 2 ) |
25 |
17 24
|
jca |
|- ( ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( ( x e. V /\ y e. V ) -> ( ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) ) ) |
27 |
26
|
rexlimivv |
|- ( E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) -> ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) ) |
28 |
12 27
|
impbii |
|- ( ( P e. ~P V /\ ( # ` P ) = 2 ) <-> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) |
29 |
2 28
|
bitri |
|- ( P e. { z e. ~P V | ( # ` z ) = 2 } <-> E. x e. V E. y e. V ( x =/= y /\ P = { x , y } ) ) |